Задание №180969: Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2025
Точки I, I являются центром вписанной и A-вневписанной окружности треa угольника ABC; вписанная окружность касается сторон AC, AB в точках E, F; G — точка пересечения BE и CF. Перпендикуляр к BC, проходящий через точку G, пересекает AI в точке J. Докажите, что E, F, J, I лежат на одной окружности. a
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2025» и рассчитано на уровень 8 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архив · 2025
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архив
- Организатор
- Оргкомитет олимпиады имени И. Ф. Шарыгина
- Год материала
- 2025
- Материалы
- 2 файла
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2025» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
(Я.Щербатов) Точки I, I являются центром вписанной и A-вневписанной
a
окружности треугольника ABC; вписанная окружность касается сторон AC, AB
в точках E, F; G — точка пересечения BE и CF. Перпендикуляр к BC, проходящий
через точку G, пересекает AI в точке J. Докажите, что E, F, J, I лежат на одной
a
окружности.
Решение. Пусть J′ — точка пересечения AI с окружностью I EF, сторона BC
a
пересекает прямые I F, I E в точках X, Y и касается вписанной окружности в точке
a a
D. Заметим, что треугольники J′EF и IXY ортологичны, т.к. I один из центров
a
ортологии. Также −1 = (A,BC ∩ AI,I,I ) = (A,B,XI ∩ AB,F), следовательно, XI
a
проходит через точку пересечения ED и AB. Но тогда IX ⊥ CF (рис. 7). Аналогично
IY ⊥ BE. Тогда J′G ⊥ XY , что равносильно искомому утверждению.
6
A
E
J′
F
I
G
Y X
B
C D
I
A
Рис. 7.
Используемые формулы
Также −1 = (A,BC ∩ AI,I,I ) = (A,B,XI ∩ AB,F), следовательно, XI
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.