Задание №180970: Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2025
Во вписанном четырехугольнике ABCD с точкой пересечения диагоналей P на отрезках AC, BD отмечены точки K и L соответственно. При этом CK = AP и DL = BP. Докажите, что прямая, проходящая через точки пересечения окружностей ALC и BKD, содержит центр масс четырехугольника ABCD. 2
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2025» и рассчитано на уровень 8 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архив · 2025
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архив
- Организатор
- Оргкомитет олимпиады имени И. Ф. Шарыгина
- Год материала
- 2025
- Материалы
- 2 файла
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2025» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
(В.Конышев) Во вписанном четырехугольнике ABCD с точкой пересечения
диагоналей P на отрезках AC, BD отмечены точки K и L соответственно. При этом
CK = AP и DL = BP. Докажите, что прямая, проходящая через точки пересечения
окружностей ALC и BKD, содержит центр масс четырехугольника ABCD.
Решение. Пусть M, N — середины AC и BD соответственно, Q — вторая точка
пересечения AC с окружностью BKD (рис. 8). Тогда степени точки M относительно
окружностей ALC и BKD равны соответственно AC2/4 и MK · MQ. При этом
MK = MP = PK/2 = (PA − PC)/2, MQ = PB · PD/PK = PA · PC/(PA − PC).
Отсюда получаем, что разность степеней равна AP · PC/4. Аналогично получаем,
что разность степеней точки N относительно этих окружностей равна −PB·PD/4 =
−PA · PC/4. Поскольку разность степеней — линейная функция, середина отрезка
MN лежит на радикальной оси окружностей.
7
B
L
N
K P C
A Q
M
D
Рис. 8.
Используемые формулы
CK = AP и DL = BP.MK = MP = PK/2 = (PA − PC)/2, MQ = PB · PD/PK = PA · PC/(PA − PC).что разность степеней точки N относительно этих окружностей равна −PB·PD/4 =
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.