Задание №180971: Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2025
Прямая ℓ, проходящая через ортоцентр H треугольника ABC (BC > AB) и параллельная AC, пересекает стороны AB и BC в точках D и E соответственно. Прямая, проходящая через центр описанной окружности этого треугольника и параллельная его медиане BM, пересекает прямую ℓ в точке F. Докажите, что длина отрезка HF втрое больше разности отрезков FE и DH.
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2025» и рассчитано на уровень 8 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архив · 2025
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архив
- Организатор
- Оргкомитет олимпиады имени И. Ф. Шарыгина
- Год материала
- 2025
- Материалы
- 2 файла
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2025» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
(А.Марданов, К.Марданова) Прямая ℓ, проходящая через ортоцентр H тре-
угольника ABC (BC > AB) и параллельная AC, пересекает стороны AB и BC в
точках D и E соответственно. Прямая, проходящая через центр описанной окруж-
ности этого треугольника и параллельная его медиане BM, пересекает прямую ℓ в
точке F. Докажите, что длина отрезка HF втрое больше разности отрезков FE и
DH.
Решение. Пусть BM пересекает DE в точке N (рис. 9). Тогда NF = HN/2 и
DH + HN = NE = NF + EF. Следовательно, EF − DH = NH/2 = HF/3.
B
H N F E
D
O
A C
Рис. 9.
Используемые формулы
Тогда NF = HN/2 иDH + HN = NE = NF + EF.Следовательно, EF − DH = NH/2 = HF/3.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.