Задание №180972: Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2025
Из бумаги вырезан остроугольный треугольник, одна из сторон которого равна опущенной на нее высоте. Постройте внутри треугольника точку, квадрат расстояния от которой до одной из вершин треугольника равен сумме квадратов расстояний до двух других. Никаких инструментов нет, можно только сгибать бумагу и отмечать точки пересечения линий сгиба.
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2025» и рассчитано на уровень 8 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архив · 2025
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архив
- Организатор
- Оргкомитет олимпиады имени И. Ф. Шарыгина
- Год материала
- 2025
- Материалы
- 2 файла
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2025» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
(М.Евдокимов) Из бумаги вырезан остроугольный треугольник, одна из сто-
рон которого равна опущенной на нее высоте. Постройте внутри треугольника точку,
квадрат расстояния от которой до одной из вершин треугольника равен сумме квад-
ратов расстояний до двух других. Никаких инструментов нет, можно только сгибать
бумагу и отмечать точки пересечения линий сгиба.
8
Решение. Пусть высота CH треугольника ABC равна стороне AB, AC > BC. Тогда
для любой точки X, лежащей на высоте из вершины A, XC2 −XB2 = AC2 −AB2 =
AH2. Следовательно, достаточно построить на этой высоте точку, для которой AX =
AH.
Перегнем треугольник по прямым, проходящим через A и C, перпендикулярным
BC и AB соответственно, отметим точку H. Затем перегнем так, чтобы сторона AB
совместилась с высотой из A и отметим точку X, с которой совместилась H (рис.
10).
C
X
A H B
Рис. 10.
Используемые формулы
для любой точки X, лежащей на высоте из вершины A, XC2 −XB2 = AC2 −AB2 =Следовательно, достаточно построить на этой высоте точку, для которой AX =
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.