Задание №180973: Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2025
Через точку X проведены три луча, образующие друг с другом углы, равные 120◦. Окружность w радиуса R выбирается произвольным образом так, чтобы точка X лежала внутри неё. Пусть A, B, C — точки пересечения лучей с окружностью. Найдите max(XA + XB + XC).
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2025» и рассчитано на уровень 8 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архив · 2025
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архив
- Организатор
- Оргкомитет олимпиады имени И. Ф. Шарыгина
- Год материала
- 2025
- Материалы
- 2 файла
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2025» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
(Ф.Нилов) Через точку X проведены три луча, образующие друг с другом
углы, равные 120◦. Окружность w радиуса R выбирается произвольным образом
так, чтобы точка X лежала внутри неё. Пусть A, B, C — точки пересечения лучей
с окружностью. Найдите max(XA + XB + XC).
Решение. Из условия следует, что X — точка Торричелли треугольника ABC. Сле-
довательно, XA + XB + XC ≤ OA + OB + OC = 3R, где O — центр окружности.
Равенство достигается, когда O совпадает с X.
Используемые формулы
довательно, XA + XB + XC ≤ OA + OB + OC = 3R, где O — центр окружности.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.