Задание №180963: Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2025
Пусть I — центр вписанной окружности треугольника ABC; D — произвольная точка отрезка AC; A ,A – точки пересечения перпендикуляра, опущенного из точки 1 2 D на биссектрису CI, с прямыми BC и AI соответственно. Аналогично определяются точки C ,C . Докажите, что шесть точек B,A ,A ,I,C ,C лежат на одной 1 2 1 2 1 2 окружности.
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2025» и рассчитано на уровень 8 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архив · 2025
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архив
- Организатор
- Оргкомитет олимпиады имени И. Ф. Шарыгина
- Год материала
- 2025
- Материалы
- 2 файла
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2025» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
(Д.Швецов) Пусть I — центр вписанной окружности треугольника ABC; D —
произвольная точка отрезка AC; A ,A – точки пересечения перпендикуляра, опу-
1 2
щенного из точки D на биссектрису CI, с прямыми BC и AI соответственно. Ана-
логично определяются точки C ,C . Докажите, что шесть точек B,A ,A ,I,C ,C
1 2 1 2 1 2
лежат на одной окружности.
Решение. Рассмотрим конфигурацию, изображенную на рис. 1, для других рассуж-
дения аналогичны. Так как DC ⊥ AI, \C C I = \DC I = \AIC − 90◦ = \ABI =
2 1 2 2
\C BI, т.е. точки B, I, C , C лежат на одной окружности. Аналогично B, I, A , A
1 1 2 1 2
лежат на одной окружности. Кроме того, точки C и A симметричны D относитель-
1 1
но AI, CI соответственно, поэтому \BC I = \IDC = \IA C, следовательно, точки
1 1
B, I, A , C лежат на одной окружности. Таким образом, все шесть точек лежат на
1 1
одной окружности.
B
C
2
A
1
C
1
A
2
I
A C
D
Рис. 1.
Используемые формулы
Так как DC ⊥ AI, \C C I = \DC I = \AIC − 90◦ = \ABI =но AI, CI соответственно, поэтому \BC I = \IDC = \IA C, следовательно, точки
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.