Задание №180967: Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2025
Точка M — середина катета AC прямоугольного треугольника ABC (\C = 90◦). Перпендикуляр, опущенный из точки M на биссектрису угла ABC, пересекает гипотенузу AB в точке N. Докажите, что окружность, описанная вокруг треугольника ANM, касается биссектрисы угла ABC.
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2025» и рассчитано на уровень 8 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архив · 2025
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архив
- Организатор
- Оргкомитет олимпиады имени И. Ф. Шарыгина
- Год материала
- 2025
- Материалы
- 2 файла
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2025» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
(Д.Швецов) Точка M — середина катета AC прямоугольного треугольника ABC
(\C = 90◦). Перпендикуляр, опущенный из точки M на биссектрису угла ABC,
пересекает гипотенузу AB в точке N. Докажите, что окружность, описанная вокруг
треугольника ANM, касается биссектрисы угла ABC.
Решение. Пусть P — проекция M на биссектрису угла B, а O — центр окружности
AMN. Так как точки P и C лежат на окружности с диаметром BM, \NMA =
4
\PBC = \ABP. Тогда \AON = \ABC и \MAO = 90◦ − \ABC/2 − \BAC =
\NMA, т.е. AO ⊥ BP. Касательная к окружности в точке Q, противоположной A,
образует с AB угол равный 90◦ −\QAN = \QBA и, следовательно, совпадает с BP
(рис. 5).
B
N
M
C A
P
O
Q
Рис. 5.
Используемые формулы
(\C = 90◦).Так как точки P и C лежат на окружности с диаметром BM, \NMA =\PBC = \ABP.Тогда \AON = \ABC и \MAO = 90◦ − \ABC/2 − \BAC =образует с AB угол равный 90◦ −\QAN = \QBA и, следовательно, совпадает с BP
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.