Задание №178306: Турнир Ломоносова 2012
7. (9–10) Верно ли, что в вершинах любого треугольника можно расста вить положительные числа так, чтобы сумма чисел в концах каждой стороны треугольника равнялась длине этой стороны?
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Турнир Ломоносова 2012» и рассчитано на уровень 9 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Турнир имени М. В. Ломоносова — официальный архив · 2012
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Турнир имени М. В. Ломоносова — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Год материала
- 2012
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Турнир Ломоносова 2012» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
Задача 7. Пусть a, b и c — стороны треугольника.
Первое решение. Нетрудно проверить, что в вершинах можно
поставить числа
a + b c b + c a c + a b
− , − , −
2 2 2
(они положительны в силу неравенства треугольника).
Второе решение. Можно решить задачу и геометрически. Впишем
в треугольник окружность.
2 (a
) / +
c b
b − −c
+ )/
2
a b
a (
2 (b
/ +
)
b c
c
− −a
+ )/
2
a
(
(a + c b)/2 (b + c a)/2
− −
c
Отрезки, примыкающие к одной вершине, равны (как касательные,
проведённые к данной окружности из данной точки).
16
Поставим в каждую вершину длину соответствующего отрезка.
Поскольку каждая сторона составлена из двух таких отрезков, условие
задачи выполнено.
Отметим, что длины этих отрезков — это как раз числа из предыду
щего решения.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.