Я САМЯ сам решу
ОлимпиадаМатематикаОММО 2019Олимпиадный

Задание №176411: ОММО 2019

Условие

Задача 8. При каких значениях параметра a уравнение log (2x2 − x + 2a − 4a2) + log (x2 + ax − 2a2) = 0 3 1/3 имеет два различных корня, сумма квадратов которых меньше 1?

📎 ommo2019-var.pdf

Что проверяет это задание

Задание относится к теме «ОММО 2019» и рассчитано на уровень 11 класса. Для решения понадобятся:

  • анализ условия
  • выбор формулы
  • проверка вычислений

Источник: Объединённая межвузовская математическая олимпиада — официальный архив · 2019

Качество материала

Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.

Условиеполное
Первоисточникуказан
Подробное решениеопубликовано
Проверка дублейосновная версия

Последняя проверка решения:

Происхождение задания

Банк заданий
Объединённая межвузовская математическая олимпиада — официальный архив
Организатор
Редакция «Я сам решу»
Год материала
2019
Материалы
1 файл
Открыть официальный архив ↗

Связанные понятия

МатематикаОММО 2019ОММО 2019 · тип 8анализ условиявыбор формулы

План самостоятельного решения

  1. Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
  2. Свяжите условие с темой «ОММО 2019» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
  3. Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
  4. Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.

Ориентировочное время: 15 минут.

Закрепить тему

После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.

Собрать тренировочный вариант → Все задания по теме

Подробный разбор

Решение по шагам

ООфициальный разбор · ВсОШПроверено

Задача 8. При каких значениях параметра a уравнение
log (2x2 − x + 2a − 4a2) + log (x2 + ax − 2a2) = 0
3 1/3
имеет два различных корня, сумма квадратов которых меньше 1?
(cid:0) (cid:1) (cid:0) (cid:1)
Ответ: 0; 1 ∪ 1; 2 .
3 3 5
Решение. Перепишем исходное уравнение в виде
log (2x2 − x + 2a − 4a2) = log (x2 + ax − 2a2).
3 3
Заметим, что это уравнение эквивалентно системе
(cid:26)
2x2 − x + 2a − 4a2 = x2 + ax − 2a2
,
x2 + ax − 2a2 > 0
или
(cid:26)
x2 − (a + 1)x − 2a(a − 1) = 0 (1)
.
(x − a)(x + 2a) > 0 (2)
16

ОММО 03.02.2019 ответы и краткие решения Вариант III


По теореме, обратной теореме Виета, корнями уравнения (1) являются числа x = 2a и x = −a+1.
1 2
Поскольку у уравнения должно быть два различных корня, получаем следующие условия:

(2a − a)(2a + 2a) > 0

(−a + 1 − a)(−a + 1 + 2a) > 0 ,
 2a (cid:54)= −a + 1
(cid:0) (cid:1)
то есть a (cid:54)= 0, a (cid:54)= 1, a ∈ −1; 1 .
3 2
Сумма квадратов x и x должна быть меньше 1, то есть 4a2 + (a − 1)2 < 1, 5a2 − 2a < 0, откуда
1 2
(cid:0) (cid:1)
a ∈ 0; 2 . Пересекая все четыре полученных условия, получаем ответ.
5

Используемые формулы

  • log (2x2 − x + 2a − 4a2) + log (x2 + ax − 2a2) = 0
  • log (2x2 − x + 2a − 4a2) = log (x2 + ax − 2a2).
  • 2x2 − x + 2a − 4a2 = x2 + ax − 2a2
  • x2 − (a + 1)x − 2a(a − 1) = 0 (1)
  • По теореме, обратной теореме Виета, корнями уравнения (1) являются числа x = 2a и x = −a+1.
  •  2a (cid:54)= −a + 1

Самопроверка после решения

  • Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
  • Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
  • Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
  • Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.

Типичные ошибки

  • Не проверить область допустимых значений.
  • Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
  • Не выполнить обратную подстановку.
Сложность: ОлимпиадныйРешение проверено: