Задание №176416: ОММО 2019
Задача 3. При каком наименьшем натуральном k выражение 2016 · 2017 · 2018 · 2019 + k является квадратом натурального числа?
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «ОММО 2019» и рассчитано на уровень 11 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Объединённая межвузовская математическая олимпиада — официальный архив · 2019
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Объединённая межвузовская математическая олимпиада — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Год материала
- 2019
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «ОММО 2019» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
Задача 3. При каком наименьшем натуральном k выражение 2016 · 2017 · 2018 · 2019 + k является
квадратом натурального числа?
Ответ: 1.
Решение. Докажем, что уже k = 1 подходит. Пусть n = 2017, тогда при k = 1 выражение из условия
равняется
(n − 1)n(n + 1)(n + 2) + 1 = (n − 1)(n + 2) · n(n + 1) + 1 = (n2 + n − 2)(n2 + n) + 1 =
(cid:0) (cid:1)(cid:0) (cid:1)
= (n2 + n − 1) − 1 (n2 + n − 1) + 1 + 1 = (n2 + n − 1)2.
Используемые формулы
Докажем, что уже k = 1 подходит.Пусть n = 2017, тогда при k = 1 выражение из условия(n − 1)n(n + 1)(n + 2) + 1 = (n − 1)(n + 2) · n(n + 1) + 1 = (n2 + n − 2)(n2 + n) + 1 == (n2 + n − 1) − 1 (n2 + n − 1) + 1 + 1 = (n2 + n − 1)2.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.