Задание №176401: ОММО 2019
Задача 8. При каких значениях параметра a уравнение 2log (2x2 − x − 2a − 4a2) − log (x2 − ax − 2a2) = 0 16 4 имеет два различных корня, сумма квадратов которых принадлежит интервалу (0;4)?
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «ОММО 2019» и рассчитано на уровень 11 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Объединённая межвузовская математическая олимпиада — официальный архив · 2019
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Объединённая межвузовская математическая олимпиада — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Год материала
- 2019
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «ОММО 2019» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
Задача 8. При каких значениях параметра a уравнение
2log (2x2 − x − 2a − 4a2) − log (x2 − ax − 2a2) = 0
16 4
имеет два различных корня, сумма квадратов которых принадлежит интервалу (0;4)?
(cid:0) (cid:1) (cid:0) (cid:1) (cid:0) (cid:1)
Ответ: −1;−1 ∪ −1;0 ∪ 0; 3 .
2 3 3 5
Решение. Перепишем исходное уравнение в виде
log (2x2 − x − 2a − 4a2) = log (x2 − ax − 2a2).
4 4
Заметим, что это уравнение эквивалентно системе
(cid:26)
2x2 − x − 2a − 4a2 = x2 − ax − 2a2
,
x2 − ax − 2a2 > 0
или
(cid:26)
x2 + (a − 1)x − 2a(a + 1) = 0 (1)
.
(x + a)(x − 2a) > 0 (2)
10
ОММО 03.02.2019 ответы и краткие решения Вариант II
По теореме, обратной теореме Виета, корнями уравнения (1) являются числа x = −2a и x = a+1.
1 2
Поскольку у уравнения должно быть два различных корня, получаем следующие условия:
(−2a + a)(−2a − 2a) > 0
(a + 1 + a)(a + 1 − 2a) > 0 ,
−2a (cid:54)= a + 1
(cid:0) (cid:1)
то есть a (cid:54)= 0, a (cid:54)= −1, a ∈ −1;1 .
3 2
Сумма квадратов x и x должна принадлежать интервалу (0;4), то есть 0 < 4a2 + (a + 1)2 < 4,
1 2
(cid:26)
5a2 + 2a + 1 > 0
,
5a2 + 2a − 3 < 0
откуда a ∈ R, a ∈ (cid:0) −1; 3 (cid:1) . Пересекая все пять полученных условий, получаем ответ.
5
Используемые формулы
2log (2x2 − x − 2a − 4a2) − log (x2 − ax − 2a2) = 0log (2x2 − x − 2a − 4a2) = log (x2 − ax − 2a2).2x2 − x − 2a − 4a2 = x2 − ax − 2a2x2 + (a − 1)x − 2a(a + 1) = 0 (1)По теореме, обратной теореме Виета, корнями уравнения (1) являются числа x = −2a и x = a+1. −2a (cid:54)= a + 1
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.