Задание №176399: ОММО 2019
Задача 6. Найдите все значения, которые может принимать выражение 4arcsinx − arccosy при условии x2 + y2 = 1.
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «ОММО 2019» и рассчитано на уровень 11 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Объединённая межвузовская математическая олимпиада — официальный архив · 2019
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Объединённая межвузовская математическая олимпиада — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Год материала
- 2019
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «ОММО 2019» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
Задача 6. Найдите все значения, которые может принимать выражение
4arcsinx − arccosy
при условии x2 + y2 = 1.
(cid:20) (cid:21)
5π 3π
Ответ: − ; .
2 2
Решение. Заметим, что x2 + y2 = 1 тогда и только тогда, когда существует некоторое ϕ ∈ [0;2π]
такое, что x = sinϕ, y = cosϕ. Тогда выражение из условия приобретает вид
4arcsinsinϕ − arccoscosϕ. (∗)
Разберём несколько случаев:
9
ОММО 03.02.2019 ответы и краткие решения Вариант II
(cid:2) (cid:3)
• ϕ ∈ 0; π : тогда arcsinsinϕ = ϕ, arccoscosϕ = ϕ, а
2
4arcsinsinϕ − arccoscosϕ = 4ϕ − ϕ = 3ϕ;
(cid:2) (cid:3) (cid:2) (cid:3)
следовательно, при ϕ ∈ 0; π выражение (∗) принимает все значения из промежутка 0; 3π ;
2 2
(cid:2) (cid:3)
• ϕ ∈ π;π : тогда arcsinsinϕ = π − ϕ, arccoscosϕ = ϕ, а
2
4arcsinsinϕ − arccoscosϕ = 4(π − ϕ) − ϕ = 4π − 5ϕ;
(cid:2) (cid:3) (cid:2) (cid:3)
следовательно, при ϕ ∈ π;π выражение (∗) принимает все значения из промежутка −π; 3π ;
2 2
(cid:2) (cid:3)
• ϕ ∈ π; 3π : тогда arcsinsinϕ = π − ϕ, arccoscosϕ = 2π − ϕ, а
2
4arcsinsinϕ − arccoscosϕ = 4(π − ϕ) − (2π − ϕ) = 2π − 3ϕ;
(cid:2) (cid:3) (cid:2) (cid:3)
следовательно, при ϕ ∈ π; 3π выражение (∗) принимает все значения из промежутка −5π;−π ;
2 2
(cid:2) (cid:3)
• ϕ ∈ 3π;2π : тогда arcsinsinϕ = ϕ − 2π, arccoscosϕ = 2π − ϕ, а
2
4arcsinsinϕ − arccoscosϕ = 4(ϕ − 2π) − (2π − ϕ) = −10π + 5ϕ;
(cid:2) (cid:3) (cid:2) (cid:3)
следовательно, при ϕ ∈ 3π;2π выражение (∗) принимает все значения из промежутка −5π;0 .
2 2
Суммируя всё вышесказанное, получаем, что выражение (∗) при ϕ ∈ [0;2π] принимает все значения
(cid:2) (cid:3)
из промежутка −5π; 3π .
2 2
Используемые формулы
при условии x2 + y2 = 1.5π 3πЗаметим, что x2 + y2 = 1 тогда и только тогда, когда существует некоторое ϕ ∈ [0;2π]такое, что x = sinϕ, y = cosϕ.π : тогда arcsinsinϕ = ϕ, arccoscosϕ = ϕ, а4arcsinsinϕ − arccoscosϕ = 4ϕ − ϕ = 3ϕ;
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.