Задание №180949: Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2024

В треугольнике ABC точки M, N — середины сторон AB, AC
соответственно; серединный перпендикуляр к биссектрисе AL пересекает биссектри-
сы углов B и C в точках P, Q соответственно. Докажите, что прямые PM и QN
пересекаются на касательной к описанной окружности треугольника ABC в точке
A.
Решение. Заметим, что прямые PQ и MN пересекаются в середине K отрезка AL.

Кроме того, точка P является серединой дуги AL окружности ABL, следовательно,

5

\BPL = \CAL = \BIC − π/2, где I — центр вписанной окружности треугольника
ABC, т.е. PL ⊥ CI. Аналогично QL ⊥ BI. Таким образом, стороны треугольника

PQL параллельны сторонам треугольника, образованного точками касания сторон
треугольника ABC с вписанной окружностью, а значит, касательные в этих точ-
ках к окружности PQL параллельны сторонам ABC. Поскольку окружность APQ
симметрична окружности LPQ относительно PQ, то касательная к этой окружно-
сти в точке P параллельна AB, а касательная в точке A совпадает с касательной к
окружности ABC. При этом \PAQ = \PLQ = π − \PIQ, поэтому точка I лежит
на окружности APQ, а касательная к окружности в этой точке параллельна BC.
Обозначим точку пересечения касательных в точках A и I через T (рис. 11)



A




P
K M
N
Q
T
I


C B
L






Рис. 11

Для решения задачи достаточно доказать, что прямая PM проходит через T, т.е. что
прямая, проходящая через A, параллельная касательной к окружности в точке P, и
прямая , проходящая через проекцию K точки P на AI, параллельная касательной

в точке I, пересекают AT в одной точке. Пусть S — точка пересечения касательных
к окружности в точках A и P, а U — точка пересечения AI с прямой, проходящей
через P и параллельной IT. Тогда IK : KU = AT : AS = ctg \IPA : ctg \AIP,
откуда и следует искомое утверждение.