Задание №180950: Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2024
Биссектрисы AA , CC треугольника ABC, в котором \B = 60◦, пересекаются 1 1 в точке I. Описанные окружности треугольников ABC, A IC пересекаются в точке 1 1 P. Докажите, что прямая PI проходит через середину стороны AC.
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2024» и рассчитано на уровень 8 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архив · 2024
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архив
- Организатор
- Оргкомитет олимпиады имени И. Ф. Шарыгина
- Год материала
- 2024
- Материалы
- 2 файла
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2024» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
Биссектрисы AA , CC треугольника ABC, в котором \B = 60◦,
1 1
пересекаются в точке I. Описанные окружности треугольников ABC, A IC пере-
1 1
секаются в точке P. Докажите, что прямая PI проходит через середину стороны
AC.
Решение. Так как \A IC = 120◦ = 180◦ − \A BC , окружности ABC и A IC пе-
1 1 1 1 1 1
ресекаются в точках B и P (рис. 12). Поэтому треугольники PA C и PC A подобны,
1 1
6
т.е. PB : PC = A C : AC . С другой стороны, поскольку \AC I + \IA C = 180◦,
1 1 1 1 1 1
то, применяя теорему синусов к треугольникам AC I и CA I, получаем, что A C :
1 1 1
AC = IC : IA. Следовательно, sin\PIA : sin\PIC = IC : IA и IP — медиана
1 1 1
треугольника IAC.
B
P
C
1
A
1
I
A C
M
Рис. 12.
Используемые формулы
Биссектрисы AA , CC треугольника ABC, в котором \B = 60◦,Так как \A IC = 120◦ = 180◦ − \A BC , окружности ABC и A IC пе-PB : PC = A C : AC .С другой стороны, поскольку \AC I + \IA C = 180◦,AC = IC : IA.Следовательно, sin\PIA : sin\PIC = IC : IA и IP — медиана
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.