Задание №180921: Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2023
Пусть A , B , C — основания высот остроугольного треугольника ABC. Окруж- 1 1 1 ность, вписанная в треугольник A B C , касается сторон A B ,A C ,B C в точках 1 1 1 1 1 1 1 1 1 C ,B ,A . Докажите, что прямые AA ,BB ,CC пересекаются в одной точке, лежа- 2 2 2 2 2 2 щей на прямой Эйлера треугольника ABC.
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2023» и рассчитано на уровень 8 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архив · 2023
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архив
- Организатор
- Оргкомитет олимпиады имени И. Ф. Шарыгина
- Год материала
- 2023
- Материалы
- 2 файла
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2023» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
(cid:226)(cid:229)(cid:246)(cid:238)(cid:226)) (8(cid:21)9) ˇ(cid:243)æ(cid:242)(cid:252) A , B , C (cid:22) (cid:238)æ(cid:237)(cid:238)(cid:226)(cid:224)(cid:237)Ł(cid:255) (cid:226)ßæ(cid:238)(cid:242) (cid:238)æ(cid:242)(cid:240)(cid:238)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)(cid:238)ª(cid:238) (cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ(cid:224)
1 1 1
ABC. ˛Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)(cid:252), (cid:226)(cid:239)Łæ(cid:224)(cid:237)(cid:237)(cid:224)(cid:255) (cid:226) (cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ A B C , Œ(cid:224)æ(cid:224)(cid:229)(cid:242)æ(cid:255) æ(cid:242)(cid:238)(cid:240)(cid:238)(cid:237) A B ,A C ,B C
1 1 1 1 1 1 1 1 1
(cid:226) (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:224)ı C ,B ,A . ˜(cid:238)Œ(cid:224)(cid:230)Ł(cid:242)(cid:229), (cid:247)(cid:242)(cid:238) (cid:239)(cid:240)(cid:255)(cid:236)ß(cid:229) AA ,BB ,CC (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:229)æ(cid:229)Œ(cid:224)(cid:254)(cid:242)æ(cid:255) (cid:226) (cid:238)(cid:228)(cid:237)(cid:238)Ø (cid:242)(cid:238)(cid:247)-
2 2 2 2 2 2
Œ(cid:229), º(cid:229)(cid:230)(cid:224)ø(cid:229)Ø (cid:237)(cid:224) (cid:239)(cid:240)(cid:255)(cid:236)(cid:238)Ø (cid:221)غ(cid:229)(cid:240)(cid:224) (cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ(cid:224) ABC.
—(cid:229)ł(cid:229)(cid:237)Ł(cid:229). ´ßæ(cid:238)(cid:242)ß (cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ(cid:224) ABC (cid:255)(cid:226)º(cid:255)(cid:254)(cid:242)æ(cid:255) ÆŁææ(cid:229)Œ(cid:242)(cid:240)Łæ(cid:224)(cid:236)Ł (cid:243)ªº(cid:238)(cid:226) (cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ(cid:224)
A B C , Œ(cid:238)(cid:242)(cid:238)(cid:240)ß(cid:229) (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:239)(cid:229)(cid:237)(cid:228)ŁŒ(cid:243)º(cid:255)(cid:240)(cid:237)ß æ(cid:242)(cid:238)(cid:240)(cid:238)(cid:237)(cid:224)(cid:236) (cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ(cid:224) A B C , (cid:239)(cid:238)(cid:253)(cid:242)(cid:238)(cid:236)(cid:243) (cid:242)(cid:240)(cid:229)-
1 1 1 2 2 2
(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒŁ ABC Ł A B C ª(cid:238)(cid:236)(cid:238)(cid:242)(cid:229)(cid:242)Ł(cid:247)(cid:237)ß ((cid:240)Łæ.6). (cid:214)(cid:229)(cid:237)(cid:242)(cid:240) ª(cid:238)(cid:236)(cid:238)(cid:242)(cid:229)(cid:242)ŁŁ º(cid:229)(cid:230)Ł(cid:242) (cid:237)(cid:224) (cid:239)(cid:240)(cid:255)(cid:236)(cid:238)Ø,
2 2 2
æ(cid:238)(cid:229)(cid:228)Ł(cid:237)(cid:255)(cid:254)ø(cid:229)Ø (cid:246)(cid:229)(cid:237)(cid:242)(cid:240)ß (cid:238)(cid:239)Łæ(cid:224)(cid:237)(cid:237)ßı (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)(cid:229)Ø (cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ(cid:238)(cid:226), (cid:242).(cid:229). (cid:239)(cid:240)(cid:255)(cid:236)(cid:238)Ø (cid:221)غ(cid:229)(cid:240)(cid:224)
(cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ(cid:224) ABC.
C
B
1
C
2
A
1
B
2
A
2
A B
C
1
—Łæ. 6.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.