Задание №180922: Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2023
На окружности ω зафиксирована точка A. Хорды BC окружности ω выбираются так, что проходят через фиксированную точку P. Докажите, что окружности 9 точек треугольников ABC касаются фиксированной окружности, не зависящей от выбора BC.
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2023» и рассчитано на уровень 8 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архив · 2023
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архив
- Организатор
- Оргкомитет олимпиады имени И. Ф. Шарыгина
- Год материала
- 2023
- Материалы
- 2 файла
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2023» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
(cid:236)Ł(cid:237), ¨.˚(cid:243)ı(cid:224)(cid:240)(cid:247)(cid:243)Œ) (8(cid:21)9) ˝(cid:224) (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł ω (cid:231)(cid:224)(cid:244)ŁŒæŁ(cid:240)(cid:238)(cid:226)(cid:224)(cid:237)(cid:224) (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:224) A. (cid:213)(cid:238)(cid:240)(cid:228)ß BC
(cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł ω (cid:226)ßÆŁ(cid:240)(cid:224)(cid:254)(cid:242)æ(cid:255) (cid:242)(cid:224)Œ, (cid:247)(cid:242)(cid:238) (cid:239)(cid:240)(cid:238)ı(cid:238)(cid:228)(cid:255)(cid:242) (cid:247)(cid:229)(cid:240)(cid:229)(cid:231) (cid:244)ŁŒæŁ(cid:240)(cid:238)(cid:226)(cid:224)(cid:237)(cid:237)(cid:243)(cid:254) (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:243) P. ˜(cid:238)Œ(cid:224)-
(cid:230)Ł(cid:242)(cid:229), (cid:247)(cid:242)(cid:238) (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł 9 (cid:242)(cid:238)(cid:247)(cid:229)Œ (cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ(cid:238)(cid:226) ABC Œ(cid:224)æ(cid:224)(cid:254)(cid:242)æ(cid:255) (cid:244)ŁŒæŁ(cid:240)(cid:238)(cid:226)(cid:224)(cid:237)(cid:237)(cid:238)Ø (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)-
(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł, (cid:237)(cid:229) (cid:231)(cid:224)(cid:226)Łæ(cid:255)ø(cid:229)Ø (cid:238)(cid:242) (cid:226)ßÆ(cid:238)(cid:240)(cid:224) BC.
—(cid:229)ł(cid:229)(cid:237)Ł(cid:229). ˆ(cid:229)(cid:238)(cid:236)(cid:229)(cid:242)(cid:240)Ł(cid:247)(cid:229)æŒŁ(cid:236) (cid:236)(cid:229)æ(cid:242)(cid:238)(cid:236) æ(cid:229)(cid:240)(cid:229)(cid:228)Ł(cid:237) ı(cid:238)(cid:240)(cid:228) BC (cid:255)(cid:226)º(cid:255)(cid:229)(cid:242)æ(cid:255) (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)(cid:252) æ (cid:228)Ł(cid:224)-
(cid:236)(cid:229)(cid:242)(cid:240)(cid:238)(cid:236) OP, ª(cid:228)(cid:229) O (cid:22) (cid:246)(cid:229)(cid:237)(cid:242)(cid:240) ω. ˇ(cid:238)(cid:253)(cid:242)(cid:238)(cid:236)(cid:243) ª(cid:229)(cid:238)(cid:236)(cid:229)(cid:242)(cid:240)Ł(cid:247)(cid:229)æŒŁ(cid:236) (cid:236)(cid:229)æ(cid:242)(cid:238)(cid:236) (cid:246)(cid:229)(cid:237)(cid:242)(cid:240)(cid:238)(cid:226) (cid:242)(cid:255)(cid:230)(cid:229)æ(cid:242)Ł
(cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ(cid:238)(cid:226) ABC Æ(cid:243)(cid:228)(cid:229)(cid:242) (cid:238)Æ(cid:240)(cid:224)(cid:231) (cid:253)(cid:242)(cid:238)Ø (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł (cid:239)(cid:240)Ł ª(cid:238)(cid:236)(cid:238)(cid:242)(cid:229)(cid:242)ŁŁ æ (cid:246)(cid:229)(cid:237)(cid:242)(cid:240)(cid:238)(cid:236) A Ł
Œ(cid:238)(cid:253)(cid:244)(cid:244)Ł(cid:246)Ł(cid:229)(cid:237)(cid:242)(cid:238)(cid:236) 2/3. ˇ(cid:240)Ł(cid:236)(cid:229)(cid:237)Ł(cid:226) Œ (cid:253)(cid:242)(cid:238)Ø (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł ª(cid:238)(cid:236)(cid:238)(cid:242)(cid:229)(cid:242)Ł(cid:254) æ (cid:246)(cid:229)(cid:237)(cid:242)(cid:240)(cid:238)(cid:236) O Ł Œ(cid:238)(cid:253)(cid:244)-
(cid:244)Ł(cid:246)Ł(cid:229)(cid:237)(cid:242)(cid:238)(cid:236) 3/2, (cid:239)(cid:238)º(cid:243)(cid:247)Ł(cid:236), (cid:247)(cid:242)(cid:238) ª(cid:229)(cid:238)(cid:236)(cid:229)(cid:242)(cid:240)Ł(cid:247)(cid:229)æŒŁ(cid:236) (cid:236)(cid:229)æ(cid:242)(cid:238)(cid:236) (cid:246)(cid:229)(cid:237)(cid:242)(cid:240)(cid:238)(cid:226) (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)(cid:229)Ø 9 (cid:242)(cid:238)(cid:247)(cid:229)Œ
(cid:242)(cid:238)(cid:230)(cid:229) Æ(cid:243)(cid:228)(cid:229)(cid:242) (cid:237)(cid:229)Œ(cid:238)(cid:242)(cid:238)(cid:240)(cid:224)(cid:255) (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)(cid:252). (cid:192) (cid:239)(cid:238)æŒ(cid:238)º(cid:252)Œ(cid:243) (cid:240)(cid:224)(cid:228)Ł(cid:243)æß (cid:226)æ(cid:229)ı (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)(cid:229)Ø 9 (cid:242)(cid:238)(cid:247)(cid:229)Œ
(cid:240)(cid:224)(cid:226)(cid:237)ß, (cid:242)(cid:238) (cid:238)(cid:237)Ł Œ(cid:224)æ(cid:224)(cid:254)(cid:242)æ(cid:255) (cid:228)(cid:226)(cid:243)ı (cid:244)ŁŒæŁ(cid:240)(cid:238)(cid:226)(cid:224)(cid:237)(cid:237)ßı (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)(cid:229)Ø.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.