Я САМЯ сам решу
ОлимпиадаМатематикаГеометрия · Олимпиада Шарыгина 2023Олимпиадный

Задание №180926: Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2023

Условие

Пусть H — ортоцентр остроугольного треугольника ABC; E, F — такие точки на сторонах AB, AC соответственно, что AEHF — параллелограмм; X, Y — точки пересечения прямой EF с описанной окружностью ω треугольника ABC; Z — точка ω, диаметрально противоположная A. Докажите, что H — ортоцентр треугольника XY Z. 12. В треугольнике ABC с тупым углом B отмечены такие точки P и Q на AC, что AP = PB, BQ = QC. Окружность BPQ пересекает стороны AB и BC в точках N и M соответственно. (a) (8–9) Докажите, что точка R пересечения PM и NQ равноудалена от A и C. (b) (10–11) Пусть BR пересекает AC в точке S. Докажите, что MN ? OS, где O — центр описанной окружности треугольника ABC.

📎 zaoch_2023.pdf📎 zaoch_sol_2023.pdf

Что проверяет это задание

Задание относится к теме «Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2023» и рассчитано на уровень 8 класса. Для решения понадобятся:

  • анализ условия
  • выбор формулы
  • проверка вычислений

Источник: Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архив · 2023

Качество материала

Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.

Условиеполное
Первоисточникуказан
Подробное решениеопубликовано
Проверка дублейосновная версия

Последняя проверка решения:

Происхождение задания

Банк заданий
Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архив
Организатор
Оргкомитет олимпиады имени И. Ф. Шарыгина
Год материала
2023
Материалы
2 файла
Открыть официальный архив ↗

Связанные понятия

МатематикаГеометрия · Олимпиада Шарыгина 2023Олимпиада Шарыгина 2023 · тип 11анализ условиявыбор формулы

План самостоятельного решения

  1. Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
  2. Свяжите условие с темой «Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2023» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
  3. Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
  4. Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.

Ориентировочное время: 15 минут.

Закрепить тему

После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.

Собрать тренировочный вариант → Все задания по теме

Подробный разбор

Решение по шагам

ООфициальный разбор · ВсОШПроверено

.˚(cid:243)(cid:240)æŒŁØ) (8(cid:21)10) ˇ(cid:243)æ(cid:242)(cid:252) H (cid:22) (cid:238)(cid:240)(cid:242)(cid:238)(cid:246)(cid:229)(cid:237)(cid:242)(cid:240) (cid:238)æ(cid:242)(cid:240)(cid:238)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)(cid:238)ª(cid:238) (cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ(cid:224) ABC; E,
F (cid:22) (cid:242)(cid:224)ŒŁ(cid:229) (cid:242)(cid:238)(cid:247)ŒŁ (cid:237)(cid:224) æ(cid:242)(cid:238)(cid:240)(cid:238)(cid:237)(cid:224)ı AB, AC æ(cid:238)(cid:238)(cid:242)(cid:226)(cid:229)(cid:242)æ(cid:242)(cid:226)(cid:229)(cid:237)(cid:237)(cid:238), (cid:247)(cid:242)(cid:238) AEHF (cid:22) (cid:239)(cid:224)(cid:240)(cid:224)ºº(cid:229)º(cid:238)-
ª(cid:240)(cid:224)(cid:236)(cid:236); X, Y (cid:22) (cid:242)(cid:238)(cid:247)ŒŁ (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:229)æ(cid:229)(cid:247)(cid:229)(cid:237)Ł(cid:255) (cid:239)(cid:240)(cid:255)(cid:236)(cid:238)Ø EF æ (cid:238)(cid:239)Łæ(cid:224)(cid:237)(cid:237)(cid:238)Ø (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)(cid:252)(cid:254) ω (cid:242)(cid:240)(cid:229)-

(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ(cid:224) ABC; Z (cid:22) (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:224) ω, (cid:228)Ł(cid:224)(cid:236)(cid:229)(cid:242)(cid:240)(cid:224)º(cid:252)(cid:237)(cid:238) (cid:239)(cid:240)(cid:238)(cid:242)Ł(cid:226)(cid:238)(cid:239)(cid:238)º(cid:238)(cid:230)(cid:237)(cid:224)(cid:255) A. ˜(cid:238)Œ(cid:224)(cid:230)Ł(cid:242)(cid:229), (cid:247)(cid:242)(cid:238)
H (cid:22) (cid:238)(cid:240)(cid:242)(cid:238)(cid:246)(cid:229)(cid:237)(cid:242)(cid:240) (cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ(cid:224) XY Z.
—(cid:229)ł(cid:229)(cid:237)Ł(cid:229). ¨(cid:231) (cid:243)æº(cid:238)(cid:226)Ł(cid:255) æº(cid:229)(cid:228)(cid:243)(cid:229)(cid:242), (cid:247)(cid:242)(cid:238) ∠BHE = ∠CHF = π/2, æº(cid:229)(cid:228)(cid:238)(cid:226)(cid:224)(cid:242)(cid:229)º(cid:252)(cid:237)(cid:238), (cid:242)(cid:240)(cid:229)-
(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒŁ BHE Ł CHF (cid:239)(cid:238)(cid:228)(cid:238)Æ(cid:237)ß Ł AF : EB = EH : EB = HF : FC = AE : EC.
ˇ(cid:238)(cid:253)(cid:242)(cid:238)(cid:236)(cid:243) AE · EB = AF · FC, (cid:242).(cid:229). æ(cid:242)(cid:229)(cid:239)(cid:229)(cid:237)Ł (cid:242)(cid:238)(cid:247)(cid:229)Œ E Ł F (cid:238)(cid:242)(cid:237)(cid:238)æŁ(cid:242)(cid:229)º(cid:252)(cid:237)(cid:238) (cid:238)(cid:239)Łæ(cid:224)(cid:237)(cid:237)(cid:238)Ø


6

(cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł (cid:240)(cid:224)(cid:226)(cid:237)ß Ł æ(cid:229)(cid:240)(cid:229)(cid:228)Ł(cid:237)(cid:224) D (cid:238)(cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:231)Œ(cid:224) AH (cid:255)(cid:226)º(cid:255)(cid:229)(cid:242)æ(cid:255) (cid:242)(cid:224)Œ(cid:230)(cid:229) æ(cid:229)(cid:240)(cid:229)(cid:228)Ł(cid:237)(cid:238)Ø XY . ˇ(cid:238)-
(cid:253)(cid:242)(cid:238)(cid:236)(cid:243) æ(cid:240)(cid:229)(cid:228)(cid:237)(cid:255)(cid:255) ºŁ(cid:237)Ł(cid:255) OD (cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ(cid:224) AHZ (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:239)(cid:229)(cid:237)(cid:228)ŁŒ(cid:243)º(cid:255)(cid:240)(cid:237)(cid:224) XY . ˙(cid:237)(cid:224)(cid:247)Ł(cid:242), ZH (cid:22)

(cid:226)ßæ(cid:238)(cid:242)(cid:224) (cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ(cid:224) XY Z, (cid:224) (cid:239)(cid:238)æŒ(cid:238)º(cid:252)Œ(cid:243) (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:224) A, æŁ(cid:236)(cid:236)(cid:229)(cid:242)(cid:240)Ł(cid:247)(cid:237)(cid:224)(cid:255) H (cid:238)(cid:242)(cid:237)(cid:238)æŁ(cid:242)(cid:229)º(cid:252)(cid:237)(cid:238)
æ(cid:229)(cid:240)(cid:229)(cid:228)Ł(cid:237)ß XY , º(cid:229)(cid:230)Ł(cid:242) (cid:237)(cid:224) (cid:238)(cid:239)Łæ(cid:224)(cid:237)(cid:237)(cid:238)Ø (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł, (cid:242)(cid:238) H (cid:22) (cid:238)(cid:240)(cid:242)(cid:238)(cid:246)(cid:229)(cid:237)(cid:242)(cid:240) ((cid:240)Łæ.11).


X
A

F

D

E


H
O
Y

C
B




Z

—Łæ. 11.


12. ´ (cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ(cid:229) ABC æ (cid:242)(cid:243)(cid:239)ß(cid:236) (cid:243)ªº(cid:238)(cid:236) B (cid:238)(cid:242)(cid:236)(cid:229)(cid:247)(cid:229)(cid:237)ß (cid:242)(cid:224)ŒŁ(cid:229) (cid:242)(cid:238)(cid:247)ŒŁ P Ł Q (cid:237)(cid:224) AC, (cid:247)(cid:242)(cid:238)
AP = PB, BQ = QC. ˛Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)(cid:252) BPQ (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:229)æ(cid:229)Œ(cid:224)(cid:229)(cid:242) æ(cid:242)(cid:238)(cid:240)(cid:238)(cid:237)ß AB Ł BC (cid:226) (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:224)ı N
Ł M æ(cid:238)(cid:238)(cid:242)(cid:226)(cid:229)(cid:242)æ(cid:242)(cid:226)(cid:229)(cid:237)(cid:237)(cid:238).
(cid:224)) (ˇ.—(cid:255)Æ(cid:238)(cid:226), 8(cid:21)9) ˜(cid:238)Œ(cid:224)(cid:230)Ł(cid:242)(cid:229), (cid:247)(cid:242)(cid:238) (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:224) R (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:229)æ(cid:229)(cid:247)(cid:229)(cid:237)Ł(cid:255) PM Ł NQ (cid:240)(cid:224)(cid:226)(cid:237)(cid:238)(cid:243)(cid:228)(cid:224)º(cid:229)(cid:237)(cid:224) (cid:238)(cid:242) A

Ł C.
Æ) ((cid:192).˙(cid:224)æº(cid:224)(cid:226)æŒŁØ, 10(cid:21)11) ˇ(cid:243)æ(cid:242)(cid:252) BR (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:229)æ(cid:229)Œ(cid:224)(cid:229)(cid:242) AC (cid:226) (cid:242)(cid:238)(cid:247)Œ(cid:229) S. ˜(cid:238)Œ(cid:224)(cid:230)Ł(cid:242)(cid:229), (cid:247)(cid:242)(cid:238) MN ⊥
OS, ª(cid:228)(cid:229) O (cid:22) (cid:246)(cid:229)(cid:237)(cid:242)(cid:240) (cid:238)(cid:239)Łæ(cid:224)(cid:237)(cid:237)(cid:238)Ø (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł (cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ(cid:224) ABC.

—(cid:229)ł(cid:229)(cid:237)Ł(cid:229). (cid:224)) ˇ(cid:243)æ(cid:242)(cid:252) O (cid:22) (cid:246)(cid:229)(cid:237)(cid:242)(cid:240) (cid:238)(cid:239)Łæ(cid:224)(cid:237)(cid:237)(cid:238)Ø (cid:238)Œ(cid:240)(cid:243)(cid:230)(cid:237)(cid:238)æ(cid:242)Ł (cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ(cid:224) ABC. (cid:210)(cid:238)ª(cid:228)(cid:224)
OP ⊥ AB Ł OQ ⊥ BC. ˚(cid:240)(cid:238)(cid:236)(cid:229) (cid:242)(cid:238)ª(cid:238), ∠NQA = ∠NBP = ∠A Ł (cid:224)(cid:237)(cid:224)º(cid:238)ªŁ(cid:247)(cid:237)(cid:238) ∠MPC =
∠C. ˇ(cid:238)(cid:253)(cid:242)(cid:238)(cid:236)(cid:243) ∠PRQ + ∠POQ = π Ł (cid:247)(cid:229)(cid:242)ß(cid:240)(cid:229)ı(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ OPRQ (cid:22) (cid:226)(cid:239)Łæ(cid:224)(cid:237)(cid:237)ßØ. (cid:209)º(cid:229)(cid:228)(cid:238)-
(cid:226)(cid:224)(cid:242)(cid:229)º(cid:252)(cid:237)(cid:238), ∠PRO = ∠PQO = π/2 − ∠C, (cid:242).(cid:229). (cid:228)Ł(cid:224)ª(cid:238)(cid:237)(cid:224)ºŁ (cid:247)(cid:229)(cid:242)ß(cid:240)(cid:229)ı(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒ(cid:224) (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:239)(cid:229)(cid:237)(cid:228)Ł-
Œ(cid:243)º(cid:255)(cid:240)(cid:237)ß Ł AR = AC ((cid:240)Łæ.12).








7

B
N

M
R


A C
P Q





O

—Łæ. 12.

Æ) ¨(cid:231) (cid:239).(cid:224)) æº(cid:229)(cid:228)(cid:243)(cid:229)(cid:242), (cid:247)(cid:242)(cid:238) (cid:242)(cid:240)(cid:229)(cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒŁ QRP Ł ABC (cid:238)(cid:240)(cid:242)(cid:238)º(cid:238)ªŁ(cid:247)(cid:237)ß æ (cid:246)(cid:229)(cid:237)(cid:242)(cid:240)(cid:238)(cid:236) O. ˚(cid:240)(cid:238)(cid:236)(cid:229)
(cid:242)(cid:238)ª(cid:238), (cid:238)(cid:237)Ł (cid:239)(cid:229)(cid:240)æ(cid:239)(cid:229)Œ(cid:242)Ł(cid:226)(cid:237)ß æ (cid:246)(cid:229)(cid:237)(cid:242)(cid:240)(cid:238)(cid:236) S. ˇ(cid:238) (cid:242)(cid:229)(cid:238)(cid:240)(cid:229)(cid:236)(cid:229) (cid:209)(cid:238)(cid:237)(cid:228)(cid:224) (cid:239)(cid:240)(cid:255)(cid:236)(cid:224)(cid:255) OS (cid:239)(cid:229)(cid:240)(cid:239)(cid:229)(cid:237)(cid:228)ŁŒ(cid:243)º(cid:255)(cid:240)(cid:237)(cid:224)
(cid:238)æŁ (cid:239)(cid:229)(cid:240)æ(cid:239)(cid:229)Œ(cid:242)Ł(cid:226)ß (cid:22) (cid:239)(cid:240)(cid:255)(cid:236)(cid:238)Ø MN.

Используемые формулы

  • (cid:243)ª(cid:238)º(cid:252)(cid:237)ŁŒŁ BHE Ł CHF (cid:239)(cid:238)(cid:228)(cid:238)Æ(cid:237)ß Ł AF : EB = EH : EB = HF : FC = AE : EC.
  • ˇ(cid:238)(cid:253)(cid:242)(cid:238)(cid:236)(cid:243) AE · EB = AF · FC, (cid:242).(cid:229).
  • AP = PB, BQ = QC.
  • ˚(cid:240)(cid:238)(cid:236)(cid:229) (cid:242)(cid:238)ª(cid:238), ∠NQA = ∠NBP = ∠A Ł (cid:224)(cid:237)(cid:224)º(cid:238)ªŁ(cid:247)(cid:237)(cid:238) ∠MPC =
  • (cid:226)(cid:224)(cid:242)(cid:229)º(cid:252)(cid:237)(cid:238), ∠PRO = ∠PQO = π/2 − ∠C, (cid:242).(cid:229).
  • Œ(cid:243)º(cid:255)(cid:240)(cid:237)ß Ł AR = AC ((cid:240)Łæ.12).

Самопроверка после решения

  • Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
  • Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
  • Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
  • Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.

Типичные ошибки

  • Не проверить область допустимых значений.
  • Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
  • Не выполнить обратную подстановку.
Сложность: ОлимпиадныйРешение проверено: