ОММО 2015 — Математика
34 заданий с подробными решениями. Страница строится только из материалов, пригодных для индексации.
Задание №1 · Математика · Олимпиада
Задача 1. Сумма первых тринадцати членов некоторой арифметической прогрессии составляет 50% от суммы последних тринадцати членов этой прогрессии. Сумма всех членов этой прогрессии …
ОММО 2015 · ОлимпиадныйЗадание №1 · Математика · Олимпиада
Задача 1. Сумма первых тринадцати членов некоторой арифметической прогрессии составляет 50% от суммы последних тринадцати членов этой прогрессии. Сумма всех членов этой прогрессии …
ОММО 2015 · ОлимпиадныйЗадание №1 · Математика · Олимпиада
Задача 1. Сумма первых тринадцати членов некоторой арифметической прогрессии составляет 50% от суммы последних тринадцати членов этой прогрессии. Сумма всех членов этой прогрессии …
ОММО 2015 · ОлимпиадныйЗадание №2 · Математика · Олимпиада
Задача 2. На острове каждый житель либо рыцарь (всегда говорит правду), либо лжец (всегда лжет), либо обычный человек (может и говорить правду, и лгать). Жители этого острова А и В…
ОММО 2015 · ОлимпиадныйЗадание №2 · Математика · Олимпиада
Задача 2. На острове каждый житель либо рыцарь (всегда говорит правду), либо лжец (всегда лжет). Два жителя называются однотипными, если они либо оба рыцари, либо оба лжецы. А, В и…
ОММО 2015 · ОлимпиадныйЗадание №2 · Математика · Олимпиада
Задача 2. На острове каждый житель либо рыцарь (всегда говорит правду), либо лжец (всегда лжет), либо обычный человек (может и говорить правду, и лгать). Жители этого острова, А и …
ОММО 2015 · ОлимпиадныйЗадание №3 · Математика · Олимпиада
Задача 3. Если из четырехзначного числа X вычесть сумму его цифр, то получится натуральное число N = K2, причем K — натуральное число, дающее остаток 5 при делении на 20 и остаток …
ОММО 2015 · ОлимпиадныйЗадание №3 · Математика · Олимпиада
Задача 3. Если из четырехзначного числа X вычесть сумму его цифр, то получится натуральное число N = K2, причем K — натуральное число, дающее остаток 2 при делении на 10 и остаток …
ОММО 2015 · ОлимпиадныйЗадание №3 · Математика · Олимпиада
Задача 3. Четырехзначное число X не кратно 10. Сумма числа X и числа, полученного из X перестановкой его второй и третьей цифр, делится на 900. Найдите остаток от деления числа X н…
ОММО 2015 · ОлимпиадныйЗадание №3 · Математика · Олимпиада
Задача 3. Четырехзначное число X не кратно 10. Сумма числа X и числа, записанного теми же цифрами в обратном порядке, равна N. Оказалось, что число N делится на 100. Найдите N.…
ОММО 2015 · ОлимпиадныйЗадание №4 · Математика · Олимпиада
Задача 4. Основания AB и CD трапеции ABCD равны 155 и 13 соответственно, а ее боковые стороны взаимно перпендикулярны. Найдите скалярное произведение векторов −→ −−→ AC и BD.…
ОММО 2015 · ОлимпиадныйЗадание №4 · Математика · Олимпиада
Задача 4. Основания AB и CD трапеции ABCD равны 65 и 31 соответственно, а ее боковые стороны взаимно перпендикулярны. Найдите скалярное произведение векторов −→ −−→ AC и BD.…
ОММО 2015 · ОлимпиадныйЗадание №4 · Математика · Олимпиада
Задача 4. Основания AB и CD трапеции ABCD равны 155 и 13 соответственно, а ее диа- −−→ −−→ гонали взаимно перпендикулярны. Найдите скалярное произведение векторов AD и BC.…
ОММО 2015 · ОлимпиадныйЗадание №4 · Математика · Олимпиада
Задача 4. Основания AB и CD трапеции ABCD равны 65 и 31 соответственно, а ее диа- −−→ −−→ гонали взаимно перпендикулярны. Найдите скалярное произведение векторов AD и BC.…
ОММО 2015 · ОлимпиадныйЗадание №6. Задача 6. Для x = π найдите значение суммы 2n sin2(x) + sin2(2x) + sin2(3x) + ... + sin2(nx)
Задача 6. Для x = π найдите значение суммы 2n sin2(x) + sin2(2x) + sin2(3x) + ... + sin2(nx)…
ОММО 2015 · ОлимпиадныйЗадание №6. Задача 6. Для x = π найдите значение суммы 2n cos2(x) + cos2(2x) + cos2(3x) + ... + cos2(nx)
Задача 6. Для x = π найдите значение суммы 2n cos2(x) + cos2(2x) + cos2(3x) + ... + cos2(nx)…
ОММО 2015 · ОлимпиадныйЗадание №6. Задача 6. Для x = π найдите значение суммы 2n sin2(x) + sin2(2x) + sin2(3x) + ... + sin2(nx)
Задача 6. Для x = π найдите значение суммы 2n sin2(x) + sin2(2x) + sin2(3x) + ... + sin2(nx)…
ОММО 2015 · ОлимпиадныйЗадание №6. Задача 6. Для x = π найдите значение суммы 2n cos2(x) + cos2(2x) + cos2(3x) + ... + cos2(nx)
Задача 6. Для x = π найдите значение суммы 2n cos2(x) + cos2(2x) + cos2(3x) + ... + cos2(nx)…
ОММО 2015 · ОлимпиадныйЗадание №7 · Математика · Олимпиада
Задача 7. Прямая c задается уравнением y = 2x. Точки A и B имеют координаты A(2;2) и B(6;2). На прямой c найдите точку C, из которой отрезок AB виден под наибольшим углом.…
ОММО 2015 · ОлимпиадныйЗадание №7 · Математика · Олимпиада
Задача 7. Прямая c задается уравнением y = x + 1. Точки A и B имеют координаты A(1;0) и B(3;0). На прямой c найдите точку C, из которой отрезок AB виден под наибольшим углом.…
ОММО 2015 · ОлимпиадныйЗадание №7 · Математика · Олимпиада
Задача 7. Прямая c задается уравнением y = 2x. Точки A и B имеют координаты A(2;2) и B(6;2). На прямой c найдите точку C, из которой отрезок AB виден под наибольшим углом.…
ОММО 2015 · ОлимпиадныйЗадание №7 · Математика · Олимпиада
Задача 7. Прямая c задается уравнением y = x + 1. Точки A и B имеют координаты A(1;0) и B(3;0). На прямой c найдите точку C, из которой отрезок AB виден под наибольшим углом.…
ОММО 2015 · ОлимпиадныйЗадание №8 · Математика · Олимпиада
Задача 8. При каких значениях параметра a уравнение ln(x − 2a) − 3(x − 2a)2 + 2a = 0 имеет единственный корень?…
ОММО 2015 · ОлимпиадныйЗадание №8 · Математика · Олимпиада
Задача 8. При каких значениях параметра a уравнение ln(x + a) − 4(x + a)2 + a = 0 имеет единственный корень?…
ОММО 2015 · Олимпиадный