Задание №176249: ОММО 2015
Задача 4. Основания AB и CD трапеции ABCD равны 155 и 13 соответственно, а ее боковые стороны взаимно перпендикулярны. Найдите скалярное произведение векторов −→ −−→ AC и BD.
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «ОММО 2015» и рассчитано на уровень 11 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Объединённая межвузовская математическая олимпиада — официальный архив · 2015
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Объединённая межвузовская математическая олимпиада — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Год материала
- 2015
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «ОММО 2015» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
Задача 8. При каких значениях параметра a уравнение
ln(x + a) − 4(x + a)2 + a = 0 имеет единственный корень?
Ответ: при a = 3ln2+1.
2
Решение. Сделаем замену t = x + a и запишем уравнение в виде
lnt = 4t2 −a. Построим в одной координатной системе график функции y = lnt и семейство парабол
y = 4t2 − a.
Ровно одну общую точку эти кривые могут иметь только в случае касания.
y
Это можно объяснить следующим образом: если рассмотреть график g(t) =
lnt − 4t2 + a, то он уходит на −∞ и в 0, и на +∞. Тогда если он имеет ровно
один ноль, то это локальный максимум, т.е. точка касания с осью.
Обозначим через t абсциссу точки касания. Тогда
0
(cid:40)
(cid:26) lnt 0 = 4t2 0 − a 0 ⇒ t 0 = 2 √ 1 2 ⇒ a = 3ln2 + 1 .
t 1 = 8t ln √ 1 = 1 − a 0 2
t 0 0 2 2 2 0
Используемые формулы
ln(x + a) − 4(x + a)2 + a = 0 имеет единственный корень?Ответ: при a = 3ln2+1.Сделаем замену t = x + a и запишем уравнение в видеlnt = 4t2 −a.Построим в одной координатной системе график функции y = lnt и семейство параболy = 4t2 − a.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.