Задание №176247: ОММО 2015
Задача 2. На острове каждый житель либо рыцарь (всегда говорит правду), либо лжец (всегда лжет), либо обычный человек (может и говорить правду, и лгать). Жители этого острова А и В сказали следующее. А: «В — рыцарь.» В: «А — не рыцарь.» Докажите, что по крайней мере один из них говорит правду, но это не рыцарь.
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «ОММО 2015» и рассчитано на уровень 11 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Объединённая межвузовская математическая олимпиада — официальный архив · 2015
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Объединённая межвузовская математическая олимпиада — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Год материала
- 2015
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «ОММО 2015» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
Задача 6. Для x = π найдите значение суммы
2n
cos2(x) + cos2(2x) + cos2(3x) + ... + cos2(nx)
Ответ: n−1.
2
Решение. Заметим, что
(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)
kπ (n − k)π kπ π kπ kπ kπ
cos2 + cos2 = cos2 + cos2 − = cos2 + sin2 = 1.
2n 2n 2n 2 2n 2n 2n
Если n нечетно, разобьем все слагаемые, кроме cos2(nx) , на пары, что сумма чисел в паре равна 1.
Отсюда разбитые на пары слагаемые дают сумму n−1, а cos2(nx) = cos2(π) = 0. Если же n четно,
2 2
то без пары остаются и cos2(nx) = cos2(π) = 0, и cos2 (cid:0)π(cid:1) = 1 . И в том, и в другом случае полная
2 4 2
сумма равна n−1.
2
Используемые формулы
Для x = π найдите значение суммыkπ (n − k)π kπ π kπ kπ kπcos2 + cos2 = cos2 + cos2 − = cos2 + sin2 = 1.Отсюда разбитые на пары слагаемые дают сумму n−1, а cos2(nx) = cos2(π) = 0.то без пары остаются и cos2(nx) = cos2(π) = 0, и cos2 (cid:0)π(cid:1) = 1 .
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.