Задание №176246: ОММО 2015
Задача 1. Сумма первых тринадцати членов некоторой арифметической прогрессии составляет 50% от суммы последних тринадцати членов этой прогрессии. Сумма всех членов этой прогрессии без первых трёх членов относится к сумме всех членов без последних трёх как 6 : 5. Найдите количество членов этой прогрессии.
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «ОММО 2015» и рассчитано на уровень 11 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Объединённая межвузовская математическая олимпиада — официальный архив · 2015
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Объединённая межвузовская математическая олимпиада — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Год материала
- 2015
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «ОММО 2015» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
Задача 5. Решите систему уравнений
(cid:40)
5x2 + 14xy + 10y2 = 17;
4x2 + 10xy + 6y2 = 8.
Ответ: (−1,2), (11,−7), (−11,7), (1,−2).
Решение. Складывая и вычитая два уравнения системы, получаем, что исходная система эквива-
лентна следующей:
(cid:26) (3x + 4y)2 = 25
(x + 2y)2 = 9
Откуда получаем 4 возможных случая
(cid:26) (cid:26) (cid:26) (cid:26)
3x + 4y = 5 3x + 4y = 5 3x + 4y = −5 3x + 4y = −5
x + 2y = 3 x + 2y = −3 x + 2y = 3 x + 2y = −3
Решая каждую из этих систем, находим 4 ответа: (−1,2), (11,−7), (−11,7), (1,−2).
Используемые формулы
5x2 + 14xy + 10y2 = 17;4x2 + 10xy + 6y2 = 8.(cid:26) (3x + 4y)2 = 25(x + 2y)2 = 93x + 4y = 5 3x + 4y = 5 3x + 4y = −5 3x + 4y = −5x + 2y = 3 x + 2y = −3 x + 2y = 3 x + 2y = −3
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.