Я САМЯ сам решу
ОлимпиадаМатематикаОММО 2015Олимпиадный

Задание №176255: ОММО 2015

Условие

Задача 10. В конус вписан цилиндр объема 21. Плоскость верхнего основания этого цилиндра отсекает от исходного конуса усеченный конус объемом 91. Найдите объем исходного конуса. Страница олимпиады: http://olimpiada.ru/ommo

📎 ommo2015-var11.pdf

Что проверяет это задание

Задание относится к теме «ОММО 2015» и рассчитано на уровень 11 класса. Для решения понадобятся:

  • анализ условия
  • выбор формулы
  • проверка вычислений

Источник: Объединённая межвузовская математическая олимпиада — официальный архив · 2015

Качество материала

Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.

Условиеполное
Первоисточникуказан
Подробное решениеопубликовано
Проверка дублейосновная версия

Последняя проверка решения:

Происхождение задания

Банк заданий
Объединённая межвузовская математическая олимпиада — официальный архив
Организатор
Редакция «Я сам решу»
Год материала
2015
Материалы
1 файл
Открыть официальный архив ↗

Связанные понятия

МатематикаОММО 2015ОММО 2015 · тип 10анализ условиявыбор формулы

План самостоятельного решения

  1. Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
  2. Свяжите условие с темой «ОММО 2015» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
  3. Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
  4. Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.

Ориентировочное время: 15 минут.

Закрепить тему

После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.

Собрать тренировочный вариант → Все задания по теме

Подробный разбор

Решение по шагам

ООфициальный разбор · ВсОШПроверено

Задача 4. Основания AB и CD трапеции ABCD равны 155 и 13 соответственно, а ее боковые
−→ −−→
стороны взаимно перпендикулярны. Найдите скалярное произведение векторов AC и BD.


11

ОММО 01.02.2015 ответы и краткие решения Вариант IV


Ответ: -2015.
Решение. Пусть O — точка пересечения прямых, содержащих боковые стороны AD и BC. Из
−→ −−→ −−→ −→
подобия треугольников AOB и DOC следует, что OC = − 13 BO, а OD = − 13 AO.
−→ −−→ 155 155
(cid:126) (cid:126)
Обозначим вектор AO через (cid:126)a, а вектор BO через b. Тогда, из условия следует, что ((cid:126)a,b) = 0 и
−→ −→ −→ 13 −−→ −−→ −−→ 13
(cid:126) (cid:126)
AC = AO + OC = (cid:126)a − b, BD = BO + OD = b − (cid:126)a.
155 155
Откуда
(cid:18) (cid:19)
−→ −−→ 13 13 13 13
(AC,BD) = (cid:126)a − (cid:126) b, (cid:126) b − (cid:126)a = − (|(cid:126)a|2 + | (cid:126) b|2) + (...) · ((cid:126)a, (cid:126) b) = − |AB|2 = −2015,
155 155 155 155
где предпоследнее равенство следует из того, что треугольник AOB — прямоугольный.

Используемые формулы

  • подобия треугольников AOB и DOC следует, что OC = − 13 BO, а OD = − 13 AO.
  • Тогда, из условия следует, что ((cid:126)a,b) = 0 и
  • AC = AO + OC = (cid:126)a − b, BD = BO + OD = b − (cid:126)a.
  • (AC,BD) = (cid:126)a − (cid:126) b, (cid:126) b − (cid:126)a = − (|(cid:126)a|2 + | (cid:126) b|2) + (...) · ((cid:126)a, (cid:126) b) = − |AB|2 = −2015,

Самопроверка после решения

  • Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
  • Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
  • Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
  • Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.

Типичные ошибки

  • Не проверить область допустимых значений.
  • Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
  • Не выполнить обратную подстановку.
Сложность: ОлимпиадныйРешение проверено: