Задание №176232: ОММО 2015
Задача 7. Прямая c задается уравнением y = 2x. Точки A и B имеют координаты A(2;2) и B(6;2). На прямой c найдите точку C, из которой отрезок AB виден под наибольшим углом.
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «ОММО 2015» и рассчитано на уровень 11 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Объединённая межвузовская математическая олимпиада — официальный архив · 2015
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Объединённая межвузовская математическая олимпиада — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Год материала
- 2015
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «ОММО 2015» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
Задача 1. Сумма первых тринадцати членов некоторой арифметической прогрессии составляет 50%
от суммы последних тринадцати членов этой прогрессии. Сумма всех членов этой прогрессии без
первых трёх членов относится к сумме всех членов без последних трёх как 5 : 4. Найдите количество
членов этой прогрессии.
Ответ: 22.
Решение. Обозначим через a первый член арифметической прогрессии, через d — ее разность,
13·(a+(a+12d))
через n — количество членов. Тогда, сумма первых тринадцати ее членов будет равна ,
2
13·(a+(n−13)d+a+(n−1)d) (n−3)·(a+3d+a+(n−1)d)
последних тринадцати — , всех без первых трех — , всех
2 2
(n−3)·(a+a+(n−4)d)
без последних трех — . Из условия тогда имеем систему:
2
(cid:26)
2 · 13(a + 6d) = 13(a + (n − 7)d)
,
4 · (n − 3) · (2a + (n + 2)d) = 5 · (n − 3) · (2a + (n − 4)d)
или, после преобразований,
(cid:26)
a = (n − 19)d
−2a = (n − 28)d
Умножая первое равенство на 2 и прибавляя ко второму, получаем (3n − 66)d = 0. Поскольку d (cid:54)= 0
(так как иначе сумма всех членов без первых трех, равнялась бы сумме всех членов без последних
трех), получаем n = 22.
Используемые формулы
2 · 13(a + 6d) = 13(a + (n − 7)d)4 · (n − 3) · (2a + (n + 2)d) = 5 · (n − 3) · (2a + (n − 4)d)a = (n − 19)d−2a = (n − 28)dУмножая первое равенство на 2 и прибавляя ко второму, получаем (3n − 66)d = 0.Поскольку d (cid:54)= 0
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.