Задание №181005: Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2026
Окружность с центром I, вписанная в треугольник ABC, касается сторон BC, CA, AB в точках A′, B′, C′ соответственно. Точки A , A , B , C — середины b c a a отрезков A′B, A′C, B′A, C′A соответственно. Прямые A B и A C пересекаются в b a c a точке P. Докажите, что точка, симметричная I относительно P, лежит на AA′.
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2026» и рассчитано на уровень 10 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архив · 2026
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архив
- Организатор
- Оргкомитет олимпиады имени И. Ф. Шарыгина
- Год материала
- 2026
- Материалы
- 2 файла
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2026» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
(Я.Щербатов) Окружность с центром I, вписанная в треугольник ABC, ка-
сается сторон BC, CA, AB в точках A′, B′, C′ соответственно. Точки A , A , B , C —
b c a a
середины отрезков A′B, A′C, B′A, C′A соответственно. Прямые A B и A C пере-
b a c a
секаются в точке P. Докажите, что точка, симметричная I относительно P, лежит
на AA′.
Решение. Пусть гомотетия с центром I и коэффициентом 2 переводит точки A ,
b
A , B , C в X′, Y ′, X, Y соответственно. Утверждение задачи равносильно перспек-
c a a
тивности треугольников AXY и A′X′Y ′
Заметим, что \BCY ′ = \CBX′ = \CAX = \BAY = (cid:25)=2 и AX = AY = BX′ =
CY ′ = IA . Возьмем на высоте треугольника из A точку Q такую, что AQ = IA (рис.
1 1
16
19). Так как ABX′Q, ACY ′Q, A′B′XQ и A′C′TQ — параллелограммы, получаем,
что X′Q ⊥ AY , Y ′Q ⊥ AX, A′Q ⊥ XY , XQ ⊥ A′Y ′, Y Q ⊥ A′X′, AQ ⊥ X′Y ′, т.е.
треугольники AXY и A′X′Y ′ ортологичны и оба центра ортологичности совпадают
с Q. Следовательно, треугольники перспективны.
X
Y
A
Q
B′
C′
I
C B
A′
T′ X′
Рис. 19.
Используемые формулы
Заметим, что \BCY ′ = \CBX′ = \CAX = \BAY = (cid:25)=2 и AX = AY = BX′ =CY ′ = IA .Возьмем на высоте треугольника из A точку Q такую, что AQ = IA (рис.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.