Задание №181004: Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2026
Дана точка P внутри треугольника △ABC. Прямые BP;CP повторно пересекают окружность ABC в точках E;F соответственно. Окружность Ω проходит через точки P;E и пересекает прямую AC в точках B ;B . Прямые PB ;PB пере- 1 2 1 2 секают прямую AB в точках C ;C . Докажите,что точки C ;C ;P;F лежат на одной 1 2 1 2 окружности.
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2026» и рассчитано на уровень 9 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архив · 2026
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архив
- Организатор
- Оргкомитет олимпиады имени И. Ф. Шарыгина
- Год материала
- 2026
- Материалы
- 2 файла
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2026» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
(К.Бельский) Дана точка P внутри треугольника △ABC. Прямые BP;CP
повторно пересекают окружность ABC в точках E;F соответственно. Окружность
Ω проходит через точки P;E и пересекает прямую AC в точках B ;B . Прямые
1 2
PB ;PB пересекают прямую AB в точках C ;C . Докажите,что точки C ;C ;P;F
1 2 1 2 1 2
лежат на одной окружности.
Решение. При движении точки B по AC точки B , C , C движутся проективно.
1 2 1 2
Поэтому достаточно доказать утверждение задачи для трех положений.
Пусть одна из точек B , B совпадает с точкой пересечения прямых BP и AC. Тогда
1 2
вторая точка будет бесконечно удаленной, одна из точек C , C совпадет с точкой
1 2
B, а другая с такой точкой Q, что PQ ∥ AC. При этом \QPF = \ACF = \ABF,
следовательно, P, B, F, Q лежат на одной окружности (рис.18).
A
E
Q
F
P
C B
Рис. 18.
Аналогично рассматриваются случаи, когда одна из точек B , B совпадает с C.
1 2
Используемые формулы
При этом \QPF = \ACF = \ABF,
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.