Задание №181010: Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2026
Сфера, вписанная в тетраэдр ABCD, касается грани ABC в ее ортоцентре H, а граней ABD, ACD в точках P, Q соответственно. Прямые DP, DQ пересекают плоскость ABC в точках X, Y . Докажите, что \XHY = 2\XAY . 4
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2026» и рассчитано на уровень 11 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архив · 2026
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архив
- Организатор
- Оргкомитет олимпиады имени И. Ф. Шарыгина
- Год материала
- 2026
- Материалы
- 2 файла
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2026» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
(А.Терешин) Сфера, вписанная в тетраэдр ABCD, касается грани ABC в ее
ортоцентре H, а граней ABD, ACD в точках P, Q соответственно. Прямые DP, DQ
пересекают плоскость ABC в точках X, Y . Докажите, что \XHY = 2\XAY .
Решение. Конус с вершиной D, описанный вокруг сферы, пересекает плоскость
ABC по эллипсу с фокусом H, касающемуся сторон AB, AC в точках X, Y . Вто-
рой фокус этого эллипса — центр O описанной около треугольника ABC окруж-
ности. Поскольку точки U, V , симметричные H относительно AB и AC, лежат
на описанной окружности, а X, Y на отрезках OU, OV соответственно, \XHY =
\UHV − \UHX − \V HY = (cid:25) − \CAB − \HCO − \HBO = 2\Y AX (рис. 24).
20
A
V
Y
U
X
O
H
C B
Рис. 24.
21
Используемые формулы
Докажите, что \XHY = 2\XAY .на описанной окружности, а X, Y на отрезках OU, OV соответственно, \XHY =\UHV − \UHX − \V HY = (cid:25) − \CAB − \HCO − \HBO = 2\Y AX (рис.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.