Задание №181001: Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2026

(Л.Емельянов, П.Кожевников) Докажите, что точка Нагеля треугольника ле-
жит на его вписанной окружности тогда и только тогда, когда биссектрисы двух
углов высекают на стороне треугольника Жергонна, отсекающей третью вершину,

отрезок вдвое меньший этой стороны.
Решение. Пусть I — центр вписанной окружности треугольника ABC, а стороны
BC, CA, AB касаются ее в точках A′, B′, C′ соответственно. Предположим, что
точка Нагеля N лежит на дуге A′B′. Тогда, так как нагелиана из C пересекает эту
дугу в точке, противоположной C′, то S = 2S . Поскольку S : S =
ABN ABI ABN ABC
(p − c) : p, S : S = c : p, где a, b, c — длины сторон треугольника, а p —
ABI ABC
его полупериметр, получаем, что c = p − c, т.е. длина стороны AB равна четверти
периметра треугольника.
12

Пусть биссектрисы AI, BI пересекают отрезок A′B′ в точках P, Q соответственно.
Известно, что эти точки лежат на средних линиях, параллельных соответственно

BC и AC (рис. 15). Поэтому PB′ : A′B′ = BC=2 : A′C = a=2 : (p − c), QA′ : A′B′ =
b=2 : (p − c) и PQ : A′B′ = c=2 : (p − c). Таким образом, равенство PQ = A′B′=2 тоже
равносильно тому, что длина AB равна четверти периметра.


C






N

B′
Q
A′
P
I

A B
Рис. 15.


Примечание. Треугольники, в которых одна из сторон равна четверти перимет-
ра, обладают рядом других интересных свойств. Например, вписанная окружность
касается соответствующей средней линии.