Задание №181000: Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2026
Дан треугольник ABC(AB < AC). На луче BA отмечена точка P так, что BP = AC, на луче CA точка Q так, что CQ = AB. На прямую PQ опустили перпендикуляры BB и CC . Докажите, что одна из точек пересечения окружностей 1 1 (CB Q) и (BC P) лежит на внешней биссектрисе угла BAC. 1 1
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2026» и рассчитано на уровень 9 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архив · 2026
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архив
- Организатор
- Оргкомитет олимпиады имени И. Ф. Шарыгина
- Год материала
- 2026
- Материалы
- 2 файла
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2026» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
(В.Конышев) Дан треугольник ABC(AB < AC). На луче BA отмечена точка
P так, что BP = AC, на луче CA точка Q так, что CQ = AB. На прямую PQ
опустили перпендикуляры BB и CC . Докажите, что одна из точек пересечения
1 1
окружностей CB Q и BC P лежит на внешней биссектрисе угла BAC.
1 1
Решение. Из условия следует, что AP = AQ, значит, прямая PQ перпендикулярна
внешней биссектрисе угла A, а прямые BB , CC параллельны ей. Пусть U, V — про-
1 1
екции B, C соответственно на внешнюю биссектрису угла A. Из равенства AB = CQ
следует, что AU = CC , т.е. ACC U — параллелограмм, C U = AC = BP и PUBC —
1 1 1 1
равнобокая трапеция, т.е. U лежит на окружности BPC . Аналогично V лежит на
1
окружности CQB (рис. 14). Степени точки A относительно этих окружностей рав-
1
ны AP ·AB и AQ·AC, т.е. их отношение равно AB : AC = AU : AV . Поэтому вторые
точки пересечения окружностей с биссектрисой совпадают.
P
V
A
U
Q
B
1
B
C
C
1
Рис. 14.
Используемые формулы
P так, что BP = AC, на луче CA точка Q так, что CQ = AB.Из условия следует, что AP = AQ, значит, прямая PQ перпендикулярнаИз равенства AB = CQследует, что AU = CC , т.е.ACC U — параллелограмм, C U = AC = BP и PUBC —их отношение равно AB : AC = AU : AV .
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.