Задание №181002: Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2026
Прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей трапеции ABCD и параллельная ее основаниям, пересекает боковую сторону AB в точке M. Пусть K — проекция M на CD. Докажите, что KM — биссектриса угла AKB.
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2026» и рассчитано на уровень 9 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архив · 2026
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архив
- Организатор
- Оргкомитет олимпиады имени И. Ф. Шарыгина
- Год материала
- 2026
- Материалы
- 2 файла
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2026» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
(М.Панов) Прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей трапе-
ции ABCD и параллельная ее основаниям, пересекает боковую сторону AB в точке
M. Пусть K — проекция M на CD. Докажите, что KM — биссектриса угла AKB.
Решение. Утверждение задачи равносильно тому, что (KA;KB;KM;KC) = −1.
Пусть диагонали трапеции пересекаются в точке L, а продолжения боковых сторон в
точке S (рис. 16). Тогда SA : SB = AD : BC = AL : LC = AM : MB, следовательно,
четверка A;B;M;S гармоническая.
13
S
K
B C
M
L
A D
Рис. 16.
Используемые формулы
Утверждение задачи равносильно тому, что (KA;KB;KM;KC) = −1.Тогда SA : SB = AD : BC = AL : LC = AM : MB, следовательно,
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.