Задание №181009: Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2026

(В.Шеломовский) Даны треугольник ABC и точка P на плоскости. Прямые
AP, BP, CP пересекают во второй раз окружность ABC в точках A′, B′, C′ соответ-
ственно. Найдите геометрическое место точек Q таких, что точки пересечения QA′
с BC, QB′ с AC и QC′ с AB лежат на одной прямой.
Ответ. Окружность ABC и поляра точки P относительно нее.

Решение. Пусть прямые A′Q и BC пересекаются в точке X, прямые B′Q и AC — в
точке Y , а прямые C′Q и AB — в точке Z. Легко видеть, что отношения BX : XC,
CY : Y A, AZ : ZB являются дробно-линейными функциями координат (x;y) точки
Q. Поэтому условие коллинеарности X, Y , Z задает уравнение третьей степени от-
носительно (x;y). Следовательно, достаточно доказать, что любая точка описанной

окружности или поляры P принадлежит искомому ГМТ.
Пусть Q лежит на окружности ABC. Применяя теорему Паскаля к шестиугольни-
ку ACBB′QA′, получаем, что прямая XY проходит через P (рис. 23). Аналогично
получаем, что Z лежит на этой же прямой.




19

C




B′ A′

X
P
Y

A B






Q
Рис. 23.


Пусть теперь прямые AC и A′C′ пересекаются в точке U, прямые BC, B′C′ — в
точке V , а Q лежит на поляре UV точки P. Так как треугольники ABC и A′B′C′
перспективны, у них есть общая вписанная коника (cid:20). Применяя к шестиугольнику
A′UY XB′V теорему Брианшона, получаем, что прямая XY касается (cid:20). Тогда Z тоже
лежит на этой прямой.