Задание №181008: Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2026
Вписанная окружность треугольника ABC касается стороны BC в точке D. Пусть F — точка Фейербаха, H — основание перпендикуляра, опущенного из точки A на прямую DF. Докажите, что FH : DF = 1 : 2.
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2026» и рассчитано на уровень 10 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архив · 2026
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Олимпиада по геометрии имени И. Ф. Шарыгина — официальный архив
- Организатор
- Оргкомитет олимпиады имени И. Ф. Шарыгина
- Год материала
- 2026
- Материалы
- 2 файла
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2026» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
(С.Чуев) Вписанная окружность треугольника ABC касается стороны BC в
точке D. Пусть F — точка Фейербаха, H — основание перпендикуляра, опущенного
из точки A на прямую DF. Докажите, что FH : DF = 1 : 2.
Решение. Пусть I — центр вписанной окружности треугольника ABC, точка N
диаметрально противоположна D, M — середина AI. Поскольку проекциями N и I
на DF являются F и середина DF соответственно, утверждение задачи равносильно
тому, что M, N, F лежат на одной прямой, т.е. \MFD = (cid:25)=2. Пусть K, L, P — сере-
дины AB, BI, IC соответственно (рис. 22). Известно, что F лежит на окружностях
Эйлера треугольников ABI и BCI, следовательно, \MFD = \MFL + \LFD =
(cid:25) − \LKM + \LPD = (cid:25) − \AIB + \ICB = (cid:25) − ((cid:25) + \ACB)=2 + \ICB = (cid:25)=2.
A
N F
M
K
I
P
L
C B
D
Рис. 22.
Используемые формулы
Докажите, что FH : DF = 1 : 2.\MFD = (cid:25)=2.Эйлера треугольников ABI и BCI, следовательно, \MFD = \MFL + \LFD =(cid:25) − \LKM + \LPD = (cid:25) − \AIB + \ICB = (cid:25) − ((cid:25) + \ACB)=2 + \ICB = (cid:25)=2.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.