Задание №180999: Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2026

(Д.Крохалев) Пусть A :::A — выпуклый многоугольник. Вершины двух за-
1 n
мкнутых ломаных — A ;:::;A в некотором порядке. Чему равно наибольшее воз-
1 n
можное отношение их длин?
Ответ. [n=2].
Пример. Пусть все вершины многоугольника разбиты на два множества: A ;:::;A
1 [n=2]
и A ;:::;A так, что вершины в каждом множестве близки друг к другу, а рас-
[n=2]+1 n
стояние между двумя вершинами из разных множеств близко к 1. Тогда вершины
можно соединить как ломаной, длина которой сколь угодно мало отличается от 2,
так и ломаной, длина которой сколь угодно мало отличается от n при четном n и от
n − 1 при нечетном.
Оценка. При четном n длина любой ломаной больше, чем 2d, и меньше, чем nd, где
d — наибольшее из расстояний между вершинами многоугольника.
Рассмотрим случай нечетного n = 2k +1. Заметим, что, если два звена XY и ZT ло-
маной пересекаются, то можно заменить их на XZ и Y T, уменьшив длину ломаной.
Поэтому наименьшую длину имеет ломаная A :::A , а наибольшую — ломаная, в
1 n
которой вершина A соединена с A и A (сложение и вычитание по модулю n),
i i+k i−k
11

поскольку у нее любые два несмежных звена пересекаются. Сложив n неравенств
вида A A + A A < P − A A , получим искомую оценку.
i i+k i i−k i+l i−k