Задание №180998: Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2026

(А.Терешин) Вершины прямоугольного треугольника ABC — точки с целыми
координатами. Вписанная в треугольник окружность с центром I касается сторон
AB, BC в точках C′, A′ соответственно. Прямые AA′ и CC′ пересекаются в точке G.
Докажите, что прямая IG проходит через какую-то точку с целыми координатами.

Первое решение. Очевидно, что точка D, симметричная вершине прямого угла
C относительно середины гипотенузы AB, имеет целые координаты. Докажем, что
IG проходит через D. Пусть A , B , C — точки касания вписанной окружности
1 1 1
со сторонами BC, CA, AB соответственно, A — точка пересечения прямых BC и
2
B C , B — точка пересечения прямых AC и A C . Тогда IA ⊥ AA , IB ⊥ BB ,
1 1 2 1 1 2 1 2 1
IG ⊥ A B . При этом, поскольку CA IB — квадрат, то B B = BC, A A = AC,
2 2 1 1 1 2 1 2
следовательно, A C = AB , B C = BA (рис. 12). А, поскольку проекции DI на AC
2 1 2 1
и BC равны соответственно AB и BA , получаем, что ID ⊥ A B , т.е. G, I, D лежат
1 1 2 2
на одной прямой.












10

B D


C
1


A 1 I
G


C
B 2 A
B
1









A
2
Рис. 12.

Второе решение. Пусть U, V — бесконечно удаленные точки прямых AC, BC
соответственно. Применяя теорему Паппа к тройкам точек (B ;A;U) и (A ;B;V ),
1 1
получаем, что G, I, D лежат на одной прямой.