Уравнения — Математика
27 заданий с подробными решениями. Страница строится только из материалов, пригодных для индексации.
Задание №1 · Математика · Олимпиада
1 при всех 𝑥 из области допустимых значений. Пусть 𝑎 = log√ (︀𝑥 + 7 )︀ , 𝑏 = log (29 − 𝑥), 𝑐 = 29−𝑥 7 (𝑥+1)2 log√ (−𝑥 − 1). Тогда 𝑥+7 7 𝑎𝑏𝑐 = log√ (︀𝑥 + 7 )︀ ·log (29 − 𝑥) · log√ (…
Уравнения · ОлимпиадныйЗадание №1 · Математика · Олимпиада
1 log (5𝑥 − 1) (𝑥+34) = 2log (2𝑥 + 23) · log (𝑥 + 34) · 2 = 2. 𝑥+34 2 (−𝑥−4) log (−𝑥 − 4) (𝑥+34) По условию числа (𝑎;𝑏;𝑐) удовлетворяют одному из трёх условий: 𝑎 = 𝑏 и 𝑎 = 𝑐 − 1; (…
Уравнения · ОлимпиадныйЗадание №1 · Математика · Олимпиада
1 при всех 𝑥 из области допустимых значений. Пусть 𝑎 = log√ (𝑥 − 4), 𝑏 = log√ (2𝑥 − 8), 𝑐 = 2𝑥−8 5𝑥−26 log (5𝑥 − 26). Тогда (𝑥−4)2 𝑎𝑏𝑐 = log√ (𝑥 − 4)·log√ (2𝑥 − 8) · log (5𝑥 − 26) …
Уравнения · ОлимпиадныйЗадание №1 · Математика · Олимпиада
1 при всех 𝑥 из области допустимых значений. Пусть 𝑎 = log√ (4𝑥 + 1), 𝑏 = log (︀𝑥 + 2 )︀2 , 𝑐 = 5𝑥−1 4𝑥+1 2 log (5𝑥 − 1). Тогда 𝑥+2 2 (︁𝑥 )︁2 𝑎𝑏𝑐 = log√ (4𝑥 + 1)·log + 2 · log (5𝑥 …
Уравнения · ОлимпиадныйЗадание №1. 1 n уравнение P(x ,...,x ) = 0 имеет вещественные решения, причём все эти решения получаются
1 n уравнение P(x ,...,x ) = 0 имеет вещественные решения, причём все эти решения получаются…
Уравнения · ОлимпиадныйЗадание №2. 2. Решить уравнение ( c o s 3 x + 1 + c o s 2 3 x ) ( c o s 5 x + 1 + c o s 2 5 x ) = 1 .
2. Решить уравнение ( c o s 3 x + 1 + c o s 2 3 x ) ( c o s 5 x + 1 + c o s 2 5 x ) = 1 .…
Уравнения · ОлимпиадныйЗадание №2. 2. Решить уравнение ( c o s 2 x + 1 + c o s 2 2 x ) ( s i n 3 x + 1 + s i n 2 3 x ) = 1 .
2. Решить уравнение ( c o s 2 x + 1 + c o s 2 2 x ) ( s i n 3 x + 1 + s i n 2 3 x ) = 1 .…
Уравнения · ОлимпиадныйЗадание №2. 2. Решить уравнение ( c o s x + 1 + c o s 2 x ) ( s i n 2 x + 1 + s i n 2 2 x ) = 1 .
2. Решить уравнение ( c o s x + 1 + c o s 2 x ) ( s i n 2 x + 1 + s i n 2 2 x ) = 1 .…
Уравнения · ОлимпиадныйЗадание №2 · Математика · Олимпиада
2. При каких значениях a и b уравнения f (x) = 0 и f ( f (x)) = 0 равносильные (имеют одинаковое непустое множество решений), где f (x) = bx8 + x2 −5ax +3b.…
Уравнения · ОлимпиадныйЗадание №2 · Математика · Олимпиада
2. При каких значениях a и b уравнения f ( x ) = 0 и f ( f ( x ) ) = 0 равносильные (имеют одинаковое непустое множество решений), где f ( x ) = b x 6 + x 2 − 4 a x + 4 b ?…
Уравнения · ОлимпиадныйЗадание №2 · Математика · Олимпиада
2. При каких значениях a и b уравнения f (x) = 0 и f ( f (x)) = 0 равносильные (имеют одинаковое непустое множество решений), где f (x) = bx4 + x2 −3ax +b?…
Уравнения · ОлимпиадныйЗадание №2 · Математика · Олимпиада
2 log√︁ (︀3𝑥 − 6 )︀2 , 𝑐 = log√︁ (︀𝑥 + 1 )︀ . Тогда 7𝑥−17 2 3𝑥−6 2 2 4 2 (︀7𝑥 17)︀ (︀3𝑥 )︀2 (︀𝑥 )︀ 𝑎𝑏𝑐 = log(︀ 𝑥+1 )︀2 2 − 4 ·log√︁ 7𝑥−17 2 − 6 · log√︁ 3𝑥−6 2 + 1 = 2 2 4 2 log (︀𝑥…
Уравнения · ОлимпиадныйЗадание №2 · Математика · Олимпиада
2 Решение. Первое уравнение можно преобразовать так: (︀ 𝑥2 + 2(𝑦 − 𝑎)𝑥 )︀ + 5𝑦2 − 6𝑎𝑦 + 2𝑎2 = 0 ⇔ ⇔ (︀ (𝑥2 + 2 · 𝑥 · (𝑦 − 𝑎) + (𝑦 − 𝑎)2)︀ − (𝑦 − 𝑎)2 + 5𝑦2 − 6𝑎𝑦 + 2𝑎2 = 0 ⇔ ⇔ (𝑥 + …
Уравнения · ОлимпиадныйЗадание №2 · Математика · Олимпиада
2 Замечание. Для решения задачи достаточно найти абсциссы точек 𝐴 и 𝐵. 4. [4 балла] Решите систему уравнений ⎧ ⎨2𝑥2 + 2𝑦2 − 𝑥2𝑦2 = 2, 1 ⎩𝑥4 + 𝑦4 − 𝑥2𝑦2 = 19. 2 √ √ √ √ (︀ )︀ (︀ )︀ …
Уравнения · ОлимпиадныйЗадание №2 · Математика · Олимпиада
2 Решение. Первое уравнение можно преобразовать так: (︀ 𝑥2 − 2(2𝑎 + 𝑦)𝑥 )︀ + 2𝑦2 + 6𝑎𝑦 + 5𝑎2 = 0 ⇔ ⇔ (︀ 𝑥2 − 2 · 𝑥 · (2𝑎 + 𝑦) + (2𝑎 + 𝑦)2)︀ − (2𝑎 + 𝑦)2 + 2𝑦2 + 6𝑎𝑦 + 5𝑎2 = 0 ⇔ ⇔ (𝑥…
Уравнения · ОлимпиадныйЗадание №2 · Математика · Олимпиада
Задача 2. Дано квадратное уравнение ax2+bx+c = 0 с целыми ненулевыми коэффициентами a, b и c, имеющее целый корень. Может ли оказаться, что если увеличить любой из этих трёх коэффи…
Уравнения · ОлимпиадныйЗадание №4 · Математика · Олимпиада
4 Из первого уравнения 𝑣 = 5 − 1; подставляем это выражение во второе уравнение и решаем его: 4 𝑢 (︂ )︂ 5 1 9 1 2𝑢2 + − = ⇔ 2𝑢2 − 1 − = 0 ⇔ 4 𝑢 4 𝑢 {︃ 2𝑢3 − 𝑢 − 1 = 0, {︃ (𝑢 − 1) (…
Уравнения · ОлимпиадныйЗадание №5 · Математика · Олимпиада
Задание 5. Вариант 4. Пусть 𝑎,𝑏 — целые числа, такие, что все корни уравнения (𝑥2 − 𝑎𝑥 + 23)(𝑥2 + 13𝑥 + 𝑏) = 0 являются отрицательными целыми числами. Найдите наименьшее возможное …
Уравнения · ОлимпиадныйЗадание №5 · Математика · Олимпиада
Задание 5. Вариант 3. Пусть 𝑎,𝑏 — целые числа, такие, что все корни уравнения (𝑥2 − 𝑎𝑥 + 25)(𝑥2 + 19𝑥 + 𝑏) = 0 являются отрицательными целыми числами. Найдите наименьшее возможное …
Уравнения · ОлимпиадныйЗадание №5 · Математика · Олимпиада
Задание 5. Вариант 2. Пусть 𝑎,𝑏 – целые числа, такие, что все корни уравнения (𝑥2 − 𝑎𝑥 + 22)(𝑥2 + 15𝑥 + 𝑏) = 0 являются отрицательными целыми числами. Найдите наименьшее возможное …
Уравнения · ОлимпиадныйЗадание №5 · Математика · Олимпиада
Задание 5. Вариант 1. Пусть 𝑎,𝑏 — целые числа, такие, что все корни уравнения (𝑥2 − 𝑎𝑥 + 20)(𝑥2 + 17𝑥 + 𝑏) = 0 являются отрицательными целыми числами. Найдите наименьшее возможное …
Уравнения · ОлимпиадныйЗадание №7 · Математика · Олимпиада
Задание 7. Вариант 4. Оля решала на доске уравнение, и ответ оказался целым числом. На перемене дежурный случайно стёр всё решение, а в записи условия — две цифры (далее они обозна…
Уравнения · ОлимпиадныйЗадание №7 · Математика · Олимпиада
Задание 7. Вариант 3. Оля решала на доске уравнение, и ответ оказался целым числом. На перемене дежурный случайно стёр всё решение, а в записи условия — две цифры (далее они обозна…
Уравнения · ОлимпиадныйЗадание №7 · Математика · Олимпиада
Задание 7. Вариант 2. Оля решала на доске уравнение, и ответ оказался целым числом. На перемене дежурный случайно стёр всё решение, а в записи условия — две цифры (далее они обозна…
Уравнения · Олимпиадный