Задание №171934: Уравнения
2 Решение. Первое уравнение можно преобразовать так: (︀ 𝑥2 − 2(2𝑎 + 𝑦)𝑥 )︀ + 2𝑦2 + 6𝑎𝑦 + 5𝑎2 = 0 ⇔ ⇔ (︀ 𝑥2 − 2 · 𝑥 · (2𝑎 + 𝑦) + (2𝑎 + 𝑦)2)︀ − (2𝑎 + 𝑦)2 + 2𝑦2 + 6𝑎𝑦 + 5𝑎2 = 0 ⇔ ⇔ (𝑥 − 2𝑎 − 𝑦)2 + 𝑦2 + 2𝑎𝑦 + 𝑎2 = 0 ⇔ (𝑥 − 2𝑎 − 𝑦)2 + (𝑦 + 𝑎)2 = 0. Отсюда получаем, что координаты точки 𝐴(𝑥 ;𝑦 ) удовлетворяют равенствам 𝑥−2𝑎−𝑦 = 0 и 𝑦+𝑎 = 0, 𝐴 𝐴 т.е. 𝑥 = 𝑎, 𝑦 = −𝑎. 𝐴 𝐴 Так как второе уравнение задаёт окружность, то 𝑎 ̸= 0. При этом условии уравнение можно переписать (︁ )︁ в виде 𝑥2+𝑦2−4𝑎𝑥− 2𝑥 +2𝑦+4𝑎2+ 1 = 0, откуда далее 𝑥2 − 2𝑥 (︀ 2𝑎 + 1)︀ + (︀ 2𝑎 + 1)︀2 + (︀ 𝑦2 + 2𝑦 + 1 )︀ + 𝑎 𝑎2 𝑎 𝑎 4𝑎2 + 1 = 1 + (︀1 + 2𝑎 )︀2 , и окончательно (︀ 𝑥 − 2𝑎 − 1)︀2 + (𝑦 + 1)2 = 5. Значит, координаты точки 𝐵 𝑎2 𝑎 𝑎
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Уравнения» и рассчитано на уровень 9 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Олимпиада «Физтех» МФТИ — официальный архив
- Организатор
- МФТИ
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Уравнения» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
2. (5 баллов) Найдены самое большое и самое маленькое числа – 2 балла,
найден только один набор чисел, удовлетворяющих условию – 1 балл,
найдены лишние решения – не более 3 баллов за задачу.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.