Задание №171988: Уравнения

Question

1 log (5𝑥 − 1) (𝑥+34) = 2log (2𝑥 + 23) · log (𝑥 + 34) · 2 = 2. 𝑥+34 2 (−𝑥−4) log (−𝑥 − 4) (𝑥+34) По условию числа (𝑎;𝑏;𝑐) удовлетворяют одному из трёх условий: 𝑎 = 𝑏 и 𝑎 = 𝑐 − 1; (33) 𝑏 = 𝑐 и 𝑐 = 𝑎 − 1; (34) 𝑐 = 𝑎 и 𝑎 = 𝑏 − 1. (35) Рассмотрим случай (33). Подставляя 𝑏 = 𝑎 и 𝑐 = 𝑎 + 1 в полученное выше уравнение 𝑎𝑏𝑐 = 2, имеем 𝑎·𝑎·(𝑎+1) = 2, откуда 𝑎3 +𝑎2 −2 = 0, (𝑎−1) (︀ 𝑎2 + 2𝑎 + 2 )︀ = 0. Так как многочлен 𝑎2 +2𝑎+2 не имеет корней, то единственным решением уравнения является 𝑎 = 1, поэтому системе удовлетворяет тройка чисел 𝑎 = 1, 𝑏 = 1, 𝑐 = 2. Случаи (34) и (35) рассматриваются аналогично; из них получаем, что либо 𝑎 = 2, 𝑏 = 1, 𝑐 = 1, либо 𝑎 = 1, 𝑏 = 2, 𝑐 = 1. Теперь для каждой из полученных троек чисел (𝑎;𝑏;𝑐) найдём 𝑥. Если 𝑐 = 1, то 2𝑥 + 23 = (𝑥 + 4)2. Это уравнение эквивалентно уравнению 𝑥2 + 6𝑥 − 7 = 0, корнями которого являются 𝑥 = 1 и 𝑥 = −7. 𝑥 = 1 не удовлетворяет ОДЗ. При 𝑥 = −7 𝑎 = log√ 9 ̸= 2. Кроме

Официальный разбор · ВсОШ · Accepted Answer

1      Олимпиада “Физтех–2021” по математике. 11 класс. Критерии оценивания

Задача считается полностью решённой (и за неё начисляется максимальное количество баллов),
    только если в тексте решения приведены все необходимые преобразования и полностью объяснены
                                                                                  
    все имеющиеся логические шаги; при этом полученные ответы приведены к упрощённому виду.
      Наличие верного ответа не гарантирует положительного балла за задачу. Верный ответ без обос-
    нования – баллы не добавляются.                                               
      За верное обоснованное решение за задачу ставится полное количество баллов (указано в скоб-
    ках после номера задачи). Некоторые частичные продвижения оцениваются согласно инструкции.
    В остальных случаях оценка ставится по усмотрению проверяющего.

1. (5 баллов) Составлена система неравенств относительно одного из членов прогрессии и её
        разности – отдельно не оценивается;                                       
                                                                                  
        найдена разность прогрессии – 2 балла;                                    
                                                    √                             
        получено неравенство на разность прогрессии вида 0 < 𝑑 < 𝑎, но забыто, что разность целая,
        и поэтому разность не найдена – 1 балл вместо 2;                          
        составлена и решена система неравенств относительно первого члена прогрессии – 2 балла; если
        при этом приобретена одна лишняя точка, то 1 балл вместо 2;               
        указаны целочисленные значения переменной – 1 балл (этот балл ставится, даже если приоб-
                                                                                  
        ретена одна лишняя точка).

2. (5 баллов) Доказано, что 𝐴𝐵 – диаметр цилиндра наименьшего радиуса – 2 балла; если при
                                                                                  
        этом не проверено, что точки 𝐶 и 𝐷 могут лежать на боковой поверхности такого цилиндра
        (например, можно доказать, что треугольники 𝐴𝐵𝐶 и 𝐴𝐵𝐷 остроугольные; можно сделать,
        как в решении), то 1 балл вместо 2;                                       
        найдены оба значения 𝐶𝐷 – 3 балла;                                        
                                                                                  
        найдено только одно значение 𝐶𝐷 – 1 балл вместо 3.

3. (7 баллов) Изображено множество точек (в плоскости (𝑎;𝑏), удовлетворяющих второму нера-
        венству системы – 2 балла;                                                
        указано (или изображено, описано) множество решений первого неравенства – баллы не добав-
        ляются;                                                                   
                                                                                  
        верно описан способ построения фигуры 𝑀 (например, совокупность кругов заданного радиуса,
        центры которых лежат в некотром множестве), но сама она построена неверно – 1 балл;
        изображена фигура 𝑀 – 3 балла;                                            
                                                                                  
        найдена её площадь – 2 балла.                                             
        Если фигура 𝑀 изображена неверно, нахождение площади не оценивается, и за задачу ставится
                                                                                  
        не более 3 баллов.                                                        
        Если фигура 𝑀 представляет собой пересечение двух кругов с центрами 𝐴 и 𝐵 радиусов 2𝐴𝐵,
        за задачу ставится 3 балла (при этом не играет роли, найдена ли площадь).

○c МФТИ, 2021

Задание №171988: Уравнения

Что проверяет это задание

Качество материала

Происхождение задания

Связанные понятия

План самостоятельного решения

Закрепить тему

Решение по шагам

Используемые формулы

Самопроверка после решения

Типичные ошибки