Задание №166170: Уравнения

Задание 5. Вариант 1.
Пусть 𝑎,𝑏 — целые числа, такие, что все корни уравнения

(𝑥2 − 𝑎𝑥 + 20)(𝑥2 + 17𝑥 + 𝑏) = 0

являются отрицательными целыми числами. Найдите наименьшее возможное значение числа 𝑎 и наименьшее возмож-
ное значение числа 𝑏.
Ответ: 𝑎 = −21, 𝑏 = 16
Решение.
Каждая из скобок в левой части представляет собой приведённый квадратный трёхчлен, имеющий не более двух
корней. Корни каждого из трёхчленов не зависят от корней другого трёхчлена, поэтому можно их рассматривать
отдельно.
√ √
Рассмотрим сначала случай, когда 𝑥2 − 𝑎𝑥 + 20 = 0 не имеет корней. Тогда 𝐷 = 𝑎2 − 80 < 0 и 𝑎 ∈ (−4 5; 4 5).
Заметим, что в этом случае 𝑎 > −9. Покажем теперь, что если уравнение имеет корни, то 𝑎 может быть меньше.
Пусть 𝑥 , 𝑥 — корни уравнения 𝑥2−𝑎𝑥+20 = 0. По теореме Виета 𝑥 +𝑥 = 𝑎, 𝑥 ·𝑥 = 20. Так как оба корня по усло-
1 2 1 2 1 2
вию отрицательные, то 𝑎 < 0 значит нужно найти такие целые отрицательные делители числа 20, что их сумма окажет-
ся максимальной по модулю. Пусть 20 = 𝑚·𝑛, 𝑚 < 𝑛. Рассмотрим все такие 𝑚 и 𝑛: 20 = (−1)·(−20) = (−2)·(−10) = (−4)·(−5).
Из этих чисел максимальную по модулю сумму дадут −1 и −20, тогда 𝑎 = −21.
Рассмотрим уравнение 𝑥2 +17𝑥 + 𝑏 = 0. Если оно не имеет корней, то 𝐷 = 289−4𝑏 < 0, отсюда следует, что 𝑏 > 72.
Покажем, что если уравнение имеет корни, то 𝑏 может быть меньше.
Пусть 𝑥 , 𝑥 — корни уравнения 𝑥2+17𝑥+𝑏 = 0. По теореме Виета 𝑥 +𝑥 = −17, 𝑥 ·𝑥 = 𝑏. Так как число 𝑏 является
3 4 3 4 3 4
произведением двух отрицательных чисел, оно должно быть положительно. Значит нужно найти целые отрицательные