Командная олимпиада 2025 — Математика
10 заданий с подробными решениями. Страница строится только из материалов, пригодных для индексации.
Задание №1 · Математика · Олимпиада
Докажите для положительных чисел a,b,c,d неравенство a3 b3 c3 d3 a + b + c + d + + + ⩾ . a2 + ab + b2 b2 + bc + c2 c2 + cd + d2 d2 + da + a2 3 (Фольклор) a3 2 1…
Командная олимпиада 2025 · ОлимпиадныйЗадание №2 · Математика · Олимпиада
Даны натуральные числа a < a < ... < a ⩽ 2n. Найдите макси- 0 1 n мальное значение суммы чисел, обратных НОКам каждой пары (a ,a ) при i i+1 i = 0,1,...,n − 1. (Вариация задачи из …
Командная олимпиада 2025 · ОлимпиадныйЗадание №3 · Математика · Олимпиада
При каких натуральных n существуют целые числа x ,x ,...,x , 1 2 n не все равные, для которых x2 + x + x + ... + x = 0 x 1 1 + x2 2 2 + x 3 3 + ... + x n n = 0 x + x + x2…
Командная олимпиада 2025 · ОлимпиадныйЗадание №4 · Математика · Олимпиада
При каких целых неотрицательных m число (22m+1)2 + 1 имеет не более двух различных простых делителей? (Из книги «Number Theory Structures, Examples, and Problems» Titu Andreesku)…
Командная олимпиада 2025 · ОлимпиадныйЗадание №5 · Математика · Олимпиада
Дано простое число p. Петя и Вася по очереди (начинает Петя) вписывают цифры в свободные клетки полоски 1 × p. Петя побеждает, если полученное число (возможно, с ведущими нулями) д…
Командная олимпиада 2025 · ОлимпиадныйЗадание №6 · Математика · Олимпиада
Две окружности касаются внутренним образом. На большей окружности выбрали точку X и провели хорды XM и XN, которые касаются меньшей окружности в точках P и Q соответственно. Докажи…
Командная олимпиада 2025 · ОлимпиадныйЗадание №7 · Математика · Олимпиада
В выпуклом четырехугольнике с перпендикулярными диагоналями отметили проекции середин сторон на противоположные стороны. Докажите, что полученные четыре точки лежат на одной окружн…
Командная олимпиада 2025 · ОлимпиадныйЗадание №8 · Математика · Олимпиада
Вера рисует картину внутри квадрата 1 × 1. Она хочет закрасить несколько непересекающихся квадратов суммарной площади S со сторонами, параллельными сторонам исходного квадрата. При…
Командная олимпиада 2025 · ОлимпиадныйЗадание №9 · Математика · Олимпиада
Пусть m и n — натуральные числа. Некоторые клетки доски размером m × n окрашены в красный цвет. Последовательность a ,a ,...,a из 1 2 2r 2r ⩾ 4 попарно различных красных клеток наз…
Командная олимпиада 2025 · ОлимпиадныйЗадание №10 · Математика · Олимпиада
Несколько натуральных чисел выписаны в строку. Каждым ходом разрешается выбрать пару чисел x и y таких что x лежит левее y и x > y и заменить на пару (x−1,x) или (y+1,x). Существуе…
Командная олимпиада 2025 · Олимпиадный