Задание №180800: Командная олимпиада 2025

Решение. Не умаляя общности будет считать, что точка касания окружностей
лежит снизу, а точка X лежит в правой полуплоскости. Пусть точка касания
окружностей Y . Заметим, что по лемме Архимеда Y M и Y N – биссектрисы
углов MY X и NY X. Отразим точки M и N относительно этих биссектрис.
Тогда новые точки M′ и N′ упадут на XY , а отрезки PM и QN перейдут в па-
раллельные из-за вписанности четырехугольника XMY N. Теперь достаточно
проверить неравенство между углами QTN′ и QN′T, остальное будет следовать
из подобия и того факта, что против большего угла лежит большая сторона.
Заметим, что общая касательная окружностей параллельна отрезкам PM′ и
QN′ (Угол между касательной в точке Y и хордой Y Q равен сумме углов QY X
и QXY , которая в свою очередь равна углу Y QN и углу Y QN′). Тогда яс-
но, что отрезок QN′ при продолжении будет вместе с касательной отсекать от
меньшей окружности равные дуги (Точка Y будет серединой). А дуга PQ будет
делиться не поровну, поскольку поровну дугу поделит пунктирный луч до цен-
тра окружности, а луч XY в наших предположениях пойдет ниже (направление
на Y пойдет ниже, чем направление на центр меньшей окружности). Тогда если
сравнивать углы QTN′ и QN′T и разложить их в полусуммы дуг на меньшей
окружности, то первые слагаемые будут равные, а для вторых будет искомое
неравенство.