Задание №180798: Командная олимпиада 2025
При каких целых неотрицательных m число (22m+1)2 + 1 имеет не более двух различных простых делителей? (Из книги «Number Theory Structures, Examples, and Problems» Titu Andreesku)
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Командная олимпиада 2025» и рассчитано на уровень 8 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Турнир математических боёв и командная олимпиада МЦНМО — официальный архив · 2025
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Турнир математических боёв и командная олимпиада МЦНМО — официальный архив
- Организатор
- МЦНМО
- Год материала
- 2025
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Командная олимпиада 2025» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
Ответ: m = 0,1,2.
Решение. Легко видеть, что числа 5, 65, 1025 = 52 · 41 подходят.
Если m ⩾ 3, то (22m+1)2+1 = (22m+1+2m+1+1)(22m+1−2m+1+1). Скобки отли-
чаются на 2m+2, а потому взаимно просты. Следовательно, каждая из скобок яв-
ляется степенью простого числа. При этом заметим, что (22m+1)2+1 делится на
5, а значит и одна из скобок это степень пятерки. То есть 22m+1±2m+1+1 = 5k.
По модулю 8 левая часть дает остаток 1, а значит k четно, то есть можно
переписать в виде k = 2l. Отсюда 2m+1(2m ± 1) = (5l − 1)(5l + 1). Но вто-
рая скобка сравнима с 2 по модулю 4, следовательно в разложении содержит
двойку только в первой степени, поэтому (5l − 1) = 2m(2t − 1) Если t = 1, то
2 = (5l + 1) − (5l − 1) = 2(2m ± 1) − 2m = 2m ± 2 ⩾ 23 − 2, что невозможно.
Если t ⩾ 2, то 5l − 1 ⩾ 3 · 2m, однако для второй скобки 5l + 1 ⩽ 2(2m ± 1), что
невозможно.
Используемые формулы
Ответ: m = 0,1,2.Легко видеть, что числа 5, 65, 1025 = 52 · 41 подходят.Если m ⩾ 3, то (22m+1)2+1 = (22m+1+2m+1+1)(22m+1−2m+1+1).То есть 22m+1±2m+1+1 = 5k.переписать в виде k = 2l.Отсюда 2m+1(2m ± 1) = (5l − 1)(5l + 1).
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.