Задание №180797: Командная олимпиада 2025
При каких натуральных n существуют целые числа x ,x ,...,x , 1 2 n не все равные, для которых x2 + x + x + ... + x = 0 x 1 1 + x2 2 2 + x 3 3 + ... + x n n = 0 x + x + x2 + ... + x = 0 1 2 3 n . . . x + x + x + ... + x2 = 0 1 2 3 n ? (Бразилия, 2023)
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Командная олимпиада 2025» и рассчитано на уровень 8 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Турнир математических боёв и командная олимпиада МЦНМО — официальный архив · 2025
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Турнир математических боёв и командная олимпиада МЦНМО — официальный архив
- Организатор
- МЦНМО
- Год материала
- 2025
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Командная олимпиада 2025» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
Ответ: При таких n, что 2n − 1 не простое.
Решение. Если n удовлетворяет условию, то можно представить (2n − 1) =
(2m − 1)(2k − 1), где m и k > 1. Есть решение x = x = ... = x = 1 − m,
1 2 mk
x = ... = x = m.
mk+1 n
Пусть 2n − 1 = p. Тогда заметим, что x + x + ... + x = x − x2 при i = 1, 2,...
1 2 n i i
n. Однако уравнение a − a2 = b − b2 эквивалентно (a − b)(a + b − 1) = 0. Это
значит, что наши числа либо равны, либо дополняют друг друга до 1. Тогда их
можно разбить на группы вида t и 1 − t. Не умаляя общности можно считать,
что первые s чисел это первая группа. Тогда t − t2 = st + (n − s)(1 − t). Тогда
t2+(2s−n−1)t+n−s = 0. D = (2s−n−1)2−4(n−s) = (2s−n)2−(2n−1) = A2. Если
2n−1 = p, то (2s−n−A)(2s−n+A) = p. Тогда (2s−n−A) = ±1(2s−n+A) = ±p,
p = 2n−1 = 2(2s−n)±1. Отсюда s = n, тогда все равны, либо 4n = 4s−2, что
невозможно.
Используемые формулы
Если n удовлетворяет условию, то можно представить (2n − 1) =Есть решение x = x = ...= x = 1 − m,x = ...= x = m.Пусть 2n − 1 = p.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.