Геометрия — Математика
140 заданий с подробными решениями. Страница строится только из материалов, пригодных для индексации.
Задание №1 · Математика · Олимпиада
1. На стороне 𝐴𝐶 остроугольного треугольника 𝐴𝐵𝐶 отметили точку 𝑂. При повороте на 90◦ вокруг точки 𝑂 этот треугольник перешёл в треугольник 𝐷𝐶𝐸. Оказалось, что площадь 𝐴𝐵𝐶𝐷 в 4 ра…
Геометрия · ОлимпиадныйЗадание №1 · Математика · Олимпиада
1. Незнайка нарисовал картинку справа и заявил, что её можно раскрасить в три цвета так, чтобы любые два прямоугольника, имеющие общую сторону, были разных цветов (прямоугольники, …
Геометрия · ОлимпиадныйЗадание №1 · Математика · Олимпиада
1. Конструктор состоит из равносторонних треугольников со сторонами 1, 2, 3, 4, 5 и 6 (по 50 штук каждого размера). Ирина хочет собрать равносторонний треугольник со стороной 7, ис…
Геометрия · ОлимпиадныйЗадание №1 · Математика · Олимпиада
1 cos2 𝛽 + sin2 𝛽 1 + tg2 𝛽 1 + (︀3)︀2 17 5 √︃ (︂ )︂(︂ )︂ √︂ √︀ 8 8 9 · 25 15 sin2𝛽 = 1 − cos2 2𝛽 = 1 + 1 − = = . 17 17 172 17 Площадь треугольника 𝐴𝐶𝑃 равна 1 ·𝐶𝑃 ·𝐴𝑃 sin2𝛽 = 1 ·7…
Геометрия · ОлимпиадныйЗадание №1 · Математика · Олимпиада
1 cos2 𝛽 + sin2 𝛽 1 + tg2 𝛽 1 + (︀4)︀2 65 7 √︃ (︂ )︂(︂ )︂ √︂ √︀ 33 33 98 · 32 56 sin2𝛽 = 1 − cos2 2𝛽 = 1 + 1 − = = . 65 65 652 65 Площадь треугольника 𝐴𝐶𝑃 равна 1·𝐶𝑃 ·𝐴𝑃 sin2𝛽 = 1·…
Геометрия · ОлимпиадныйЗадание №1 · Математика · Олимпиада
1 cos2 𝛽 + sin2 𝛽 1 + tg2 𝛽 1 + (︀3)︀2 25 4 √︃ (︂ )︂(︂ )︂ √︂ √︀ 7 7 32 · 18 24 sin2𝛽 = 1 − cos2 2𝛽 = 1 + 1 − = = . 25 25 252 25 Площадь треугольника 𝐴𝐶𝑃 равна 1 ·𝐶𝑃 ·𝐴𝑃 sin2𝛽 = 1 ·…
Геометрия · ОлимпиадныйЗадание №1 · Математика · Олимпиада
1 cos2 𝛽 + sin2 𝛽 1 + tg2 𝛽 1 + (︀3)︀2 29 7 √︃ (︂ )︂(︂ )︂ √︂ √︀ 20 20 49 · 9 21 sin2𝛽 = 1 − cos2 2𝛽 = 1 + 1 − = = . 29 29 292 29 Площадь треугольника 𝐴𝐶𝑃 равна 1 ·𝐶𝑃 ·𝐴𝑃 sin2𝛽 = 1 …
Геометрия · ОлимпиадныйЗадание №1 · Математика · Олимпиада
1 cos2 𝛽 + sin2 𝛽 1 + tg2 𝛽 1 + (︀1)︀2 5 2 √︃ (︂ )︂(︂ )︂ √︂ √︀ 3 3 16 4 sin2𝛽 = 1 − cos2 2𝛽 = 1 + 1 − = = . 5 5 25 5 Площадь треугольника 𝐴𝐶𝑃 равна 1 · 𝐶𝑃 · 𝐴𝑃 sin2𝛽 = 1 · 4𝑦 · 5𝑦 …
Геометрия · ОлимпиадныйЗадание №1 · Математика · Олимпиада
1 cos2 𝛽 + sin2 𝛽 1 + tg2 𝛽 1 + 22 5 √︃ (︂ )︂(︂ )︂ √︂ √︀ 3 3 16 4 sin2𝛽 = 1 − cos2 2𝛽 = 1 + 1 − = = . 5 5 25 5 Площадь треугольника 𝐴𝐶𝑃 равна 1 · 𝐶𝑃 · 𝐴𝑃 sin2𝛽 = 1 · 3𝑦 · 5𝑦 · 4 = …
Геометрия · ОлимпиадныйЗадание №1 · Математика · Олимпиада
1 cos2 𝛽 + sin2 𝛽 1 + tg2 𝛽 1 + (︀1)︀2 5 2 √︃ (︂ )︂(︂ )︂ √︂ √︀ 3 3 16 4 sin2𝛽 = 1 − cos2 2𝛽 = 1 + 1 − = = . 5 5 25 5 Площадь треугольника 𝐴𝐶𝑃 равна 1 ·𝐶𝑃 ·𝐴𝑃 sin2𝛽 = 1 ·5𝑦 ·6𝑦 · 4 …
Геометрия · ОлимпиадныйЗадание №1 · Математика · Олимпиада
1 cos2 𝛽 + sin2 𝛽 1 + tg2 𝛽 1 + (︀7)︀2 37 5 √︃ (︂ )︂(︂ )︂ √︂ √︀ 12 12 49 · 25 35 sin2𝛽 = 1 − cos2 2𝛽 = 1 + 1 − = = . 37 37 372 37 Площадь треугольника 𝐴𝐶𝑃 равна 1 ·𝐶𝑃 ·𝐴𝑃 sin2𝛽 = 1…
Геометрия · ОлимпиадныйЗадание №1 · Математика · Олимпиада
Задание 1. Вариант 4. Прямоугольник 4 × 7 и прямоугольник 6 × 4 поместили внутрь квадрата с целочисленной стороной так, что они могут иметь общие точки, но не могут перекрывать дру…
Геометрия · ОлимпиадныйЗадание №1 · Математика · Олимпиада
Задание 1. Вариант 3. Прямоугольник 3 × 6 и прямоугольник 4 × 5 поместили внутрь квадрата с целочисленной стороной так, что они могут иметь общие точки, но не могут перекрывать дру…
Геометрия · ОлимпиадныйЗадание №1 · Математика · Олимпиада
Задание 1. Вариант 2. Прямоугольник 3 × 5 и прямоугольник 4 × 3 поместили внутрь квадрата с целочисленной стороной так, что они могут иметь общие точки, но не могут перекрывать дру…
Геометрия · ОлимпиадныйЗадание №1 · Математика · Олимпиада
Задание 1. Вариант 1. Прямоугольник 2 × 3 и прямоугольник 3 × 4 поместили внутрь квадрата с целочисленной стороной так, что они могут иметь общие точки, но не могут перекрывать дру…
Геометрия · ОлимпиадныйЗадание №1 · Математика · Олимпиада
Задача 1. Дан остроугольный треугольник ABC. На его описанной окружности отмечена точка D, диаметрально противоположная вершине A. Точки X и Y на стороне BC таковы, что BX = XD и C…
Геометрия · ОлимпиадныйЗадание №1 · Математика · Олимпиада
1 ке C, к окружности (AHB) в точке B и к окружности (CHA) в точке A образуют треугольник T . Пусть I и I — центры впи- 2 1 2 санных окружностей треугольников T и T соответственно. …
Геометрия · ОлимпиадныйЗадание №2 · Математика · Олимпиада
2) (3; 7; 11), (3; 11; 7), (11; 3; 7), (11; 7; 3), (7; 3; 11), (7; 11; 3) . Задача 5. Рассмотрим треугольники ABC и D B C . Они имеют общее основание B C . Опустим из вершин A и D …
Геометрия · ОлимпиадныйЗадание №2 · Математика · Олимпиада
2. Три биссектрисы неравнобедреннего треугольника пересекаются в точке I. Докажите, что каждое из расстояний от точки I до вершин треугольника меньше длины средней по величине стор…
Геометрия · ОлимпиадныйЗадание №2 · Математика · Олимпиада
2. У тетраэдра 𝐴𝐵𝐶𝐷 все три плоских угла при вершине 𝐴 равны 60◦, а длина каждого ребра — целое число. Обязательно ли все грани тетраэдра равны? ( А. А. Теслер) Ответ: Нет. Наприме…
Геометрия · ОлимпиадныйЗадание №2 · Математика · Олимпиада
2. На стороне 𝐴𝐶 остроугольного треугольника 𝐴𝐵𝐶 отметили точку 𝑂. При повороте на 90◦ вокруг точки 𝑂 этот треугольник перешёл в треугольник 𝐷𝐶𝐸. Оказалось, что площадь 𝐴𝐵𝐶𝐷 в 4 ра…
Геометрия · ОлимпиадныйЗадание №2 · Математика · Олимпиада
2. В остроугольном треугольнике провели обе трисектрисы одного из углов (то есть разделили его на 3 равные части), которые разделили противоположную сторону в отношении 5 : 3 : 3. …
Геометрия · ОлимпиадныйЗадание №2 · Математика · Олимпиада
2. В окружность 𝜔 вписан шестиугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹, в котором 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 = 𝐶𝐷. Отрезок 𝐵𝐸 пересекает 𝐶𝐹 и 𝐷𝐹 в точках 𝐺 и 𝐻 соответственно, а отрезок 𝐴𝐸 пересекает 𝐶𝐹 и 𝐵𝐹 в точках 𝐽 и 𝐾 с…
Геометрия · ОлимпиадныйЗадание №2 · Математика · Олимпиада
2) Ровно один из выбранных узлов лежит на данных в условии прямых. Выберем сначала узел, лежащий на одной из прямых (124 способа). Посчитаем, сколько после этого есть способов выбр…
Геометрия · Олимпиадный