Задание №171963: Геометрия
1 cos2 𝛽 + sin2 𝛽 1 + tg2 𝛽 1 + (︀7)︀2 37 5 √︃ (︂ )︂(︂ )︂ √︂ √︀ 12 12 49 · 25 35 sin2𝛽 = 1 − cos2 2𝛽 = 1 + 1 − = = . 37 37 372 37 Площадь треугольника 𝐴𝐶𝑃 равна 1 ·𝐶𝑃 ·𝐴𝑃 sin2𝛽 = 1 ·2𝑦·3𝑦· 35 = 105 𝑦2, откуда получаем 105𝑦2 = 10, 2 2 37 37 37 𝑦2 = 74 . По теореме косинусов из треугольника 𝐴𝑃𝐶 находим, что 𝐴𝐶2 = (2𝑦)2+(3𝑦)2−2·2𝑦·3𝑦·cos2𝛽 = 21 √ 13𝑦2 + 12𝑦2 · 12 = 625𝑦2 = 625·74, откуда окончательно получаем 𝐴𝐶 = 2 √ 5 2. 37 37 37·21 21 ○c МФТИ, 2021 5 “Физтех–2021” математика. Решения, 11 класс ВАРИАНТ 18 1. [5 баллов] 𝑆 – сумма первых 7 членов возрастающей арифметической прогрессии 𝑎 , 𝑎 , 𝑎 ,..., состо- 1 2 3 ящей из целых чисел. Известно, что 𝑎 𝑎 > 𝑆 + 20, 𝑎 𝑎 < 𝑆 + 44. Укажите все возможные значения 7 12 9 10 𝑎 .
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Геометрия» и рассчитано на уровень 11 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Олимпиада «Физтех» МФТИ — официальный архив
- Организатор
- МФТИ
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Геометрия» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
1 Олимпиада “Физтех–2021” по математике. 11 класс. Критерии оценивания
Задача считается полностью решённой (и за неё начисляется максимальное количество баллов),
только если в тексте решения приведены все необходимые преобразования и полностью объяснены
все имеющиеся логические шаги; при этом полученные ответы приведены к упрощённому виду.
Наличие верного ответа не гарантирует положительного балла за задачу. Верный ответ без обос-
нования – баллы не добавляются.
За верное обоснованное решение за задачу ставится полное количество баллов (указано в скоб-
ках после номера задачи). Некоторые частичные продвижения оцениваются согласно инструкции.
В остальных случаях оценка ставится по усмотрению проверяющего.
1. (5 баллов) Составлена система неравенств относительно одного из членов прогрессии и её
разности – отдельно не оценивается;
найдена разность прогрессии – 2 балла;
√
получено неравенство на разность прогрессии вида 0 < 𝑑 < 𝑎, но забыто, что разность целая,
и поэтому разность не найдена – 1 балл вместо 2;
составлена и решена система неравенств относительно первого члена прогрессии – 2 балла; если
при этом приобретена одна лишняя точка, то 1 балл вместо 2;
указаны целочисленные значения переменной – 1 балл (этот балл ставится, даже если приоб-
ретена одна лишняя точка).
2. (5 баллов) Доказано, что 𝐴𝐵 – диаметр цилиндра наименьшего радиуса – 2 балла; если при
этом не проверено, что точки 𝐶 и 𝐷 могут лежать на боковой поверхности такого цилиндра
(например, можно доказать, что треугольники 𝐴𝐵𝐶 и 𝐴𝐵𝐷 остроугольные; можно сделать,
как в решении), то 1 балл вместо 2;
найдены оба значения 𝐶𝐷 – 3 балла;
найдено только одно значение 𝐶𝐷 – 1 балл вместо 3.
3. (7 баллов) Изображено множество точек (в плоскости (𝑎;𝑏), удовлетворяющих второму нера-
венству системы – 2 балла;
указано (или изображено, описано) множество решений первого неравенства – баллы не добав-
ляются;
верно описан способ построения фигуры 𝑀 (например, совокупность кругов заданного радиуса,
центры которых лежат в некотром множестве), но сама она построена неверно – 1 балл;
изображена фигура 𝑀 – 3 балла;
найдена её площадь – 2 балла.
Если фигура 𝑀 изображена неверно, нахождение площади не оценивается, и за задачу ставится
не более 3 баллов.
Если фигура 𝑀 представляет собой пересечение двух кругов с центрами 𝐴 и 𝐵 радиусов 2𝐴𝐵,
за задачу ставится 3 балла (при этом не играет роли, найдена ли площадь).
○c МФТИ, 2021
Используемые формулы
√
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.