Задание №175333: Геометрия
1. Незнайка нарисовал картинку справа и заявил, что её можно раскрасить в три цвета так, чтобы любые два прямоугольника, имеющие общую сторону, были разных цветов (прямоугольники, касающиеся только в точке, могут быть одного цвета). Знайка ответил, что таких раскрасок больше одной. Сколькими способами можно раскрасить картинку? Две раскраски считайте различными, если хотя бы один прямоугольник окрашен в другой цвет. ( П. Д. Муленко) Ответ: 54. Решение. Подпишем прямоугольники (для краткости будем называть их «блоками»), как показано на рисунке. Сперва рассмотрим центральную полоску из блоков 0A, 0B и двух неподписанных. Тройка блоков из двух неподписанных и 0А все касаются друг друга, поэтому должны быть различных цветов. Первый неподписанный блок можно закрасить любым из трёх доступных цветов; второй неподписанный блок можно закрасить любым из двух оставшихся цветов; третий блок 0А можно закрасить только последним оставшимся цветом — всего 3 · 2 · 1 = 6 способов закрасить эти три блока. Блок 0B тоже касается обоих неподписанных, поэтому его цвет будет таким же, как и у блока 0А. Теперь рассмотрим верхнюю и нижнюю полоски из блоков 1А–7А и 1В–7В. Эти две группы идентичны друг другу по тому, как блоки граничат друг с другом, поэтому будем рассматривать их вместе. Если блок с номером 1 имеет отличный цвет от соответствующего блока 0 (что продемонстрировано в нижней полоске на примере блоков 0А и 1А), то цвета всех остальных блоков восстанавливаются однозначно. Так, блок 2 граничит и с блоком 0, и с блоком 1, поэтому он должен быть третьего цвета; блок 3 граничит и с блоком 1, и с одним из неподписанных блоков, поэтому он должен быть того же цвета, что и блок 0; и так далее. А если же блок с номером 1 окрашен в тот же цвет, что и соответствующий блок 0 (что продемонстрировано в верхней полоске на примере блоков 0В и 1В), то тогда блок 2 может быть раскрашен в любой из двух других цветов, а все остальные блоки в полоске закрашиваются однозначно. Таким образом, есть 6 возможных раскрасок для центральной полосы из 4 блоков (двух неподписанных, 0А и 0В), и по 3 возможных раскраски для верхней и нижней полос (из блоков 1В–7В и 1А–7А, соответственно). Всего 6 · 3 · 3 = 54 возможных раскраски. Критерии. Приведён только ответ — 2 балла. Приведена только одна какая-то раскраска и больше ничего — 0 баллов. Вне зависимости от логики перебора, каждый потерянный случай — −2 балла. 14
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Геометрия» и рассчитано на уровень 8 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Олимпиада «Формула Единства» — официальный архив · 2025
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Олимпиада «Формула Единства» — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Год материала
- 2025
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Геометрия» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
1. Незнайка нарисовал картинку справа и заявил, что её можно раскрасить
в три цвета так, чтобы любые два прямоугольника, имеющие общую сто-
рону, были разных цветов (прямоугольники, касающиеся только в точке,
могут быть одного цвета). Знайка ответил, что таких раскрасок больше
одной. Сколькими способами можно раскрасить картинку? Две раскрас-
ки считайте различными, если хотя бы один прямоугольник окрашен в
другой цвет. ( П. Д. Муленко)
Ответ: 54.
Решение. Подпишем прямоугольники (для краткости будем называть их «блоками»), как
показано на рисунке.
Сперва рассмотрим центральную полоску из блоков 0A, 0B и двух непод-
писанных. Тройка блоков из двух неподписанных и 0А все касаются друг
друга, поэтому должны быть различных цветов. Первый неподписанный
блок можно закрасить любым из трёх доступных цветов; второй неподпи-
санный блок можно закрасить любым из двух оставшихся цветов; третий
блок 0А можно закрасить только последним оставшимся цветом — всего
3 · 2 · 1 = 6 способов закрасить эти три блока. Блок 0B тоже касается обоих
неподписанных, поэтому его цвет будет таким же, как и у блока 0А.
Теперь рассмотрим верхнюю и нижнюю полоски из блоков 1А–7А и 1В–7В. Эти две группы
идентичны друг другу по тому, как блоки граничат друг с другом, поэтому будем рассматри-
вать их вместе.
Если блок с номером 1 имеет отличный цвет от соответствующего блока 0 (что продемон-
стрировано в нижней полоске на примере блоков 0А и 1А), то цвета всех остальных блоков
восстанавливаются однозначно. Так, блок 2 граничит и с блоком 0, и с блоком 1, поэтому он
должен быть третьего цвета; блок 3 граничит и с блоком 1, и с одним из неподписанных бло-
ков, поэтому он должен быть того же цвета, что и блок 0; и так далее.
А если же блок с номером 1 окрашен в тот же цвет, что и соответствующий блок 0 (что про-
демонстрировано в верхней полоске на примере блоков 0В и 1В), то тогда блок 2 может быть
раскрашен в любой из двух других цветов, а все остальные блоки в полоске закрашиваются
однозначно.
Таким образом, есть 6 возможных раскрасок для центральной полосы из 4 блоков (двух непод-
писанных, 0А и 0В), и по 3 возможных раскраски для верхней и нижней полос (из блоков 1В–7В
и 1А–7А, соответственно). Всего 6 · 3 · 3 = 54 возможных раскраски.
Критерии. Приведён только ответ — 2 балла.
Приведена только одна какая-то раскраска и больше ничего — 0 баллов.
Вне зависимости от логики перебора, каждый потерянный случай — −2 балла.
14
Используемые формулы
3 · 2 · 1 = 6 способов закрасить эти три блока.Всего 6 · 3 · 3 = 54 возможных раскраски.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.