Задание №166152: Геометрия
Задание 1. Вариант 2. Прямоугольник 3 × 5 и прямоугольник 4 × 3 поместили внутрь квадрата с целочисленной стороной так, что они могут иметь общие точки, но не могут перекрывать друг друга. Какую наименьшую площадь может иметь квадрат?
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Геометрия» и рассчитано на уровень 10 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: ВсОШ в Москве — официальный архив · 2025
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- ВсОШ в Москве — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Год материала
- 2025
- Материалы
- 2 файла
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Геометрия» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
1) Пусть 𝑘 = 6𝑛 + 1. Сумма всех чисел на доске равна (6𝑛 + 1)(6𝑛 + 2)/2 = (6𝑛 + 1)(3𝑛 + 1) ≡ 1 (mod 3). Кроме того,
на доске по 2𝑛 чисел дающих остатки 0 и 2 от деления на 3, и 2𝑛 + 1 число, дающее остаток 1 от деления на 3.
Выигрывает второй игрок. Его стратегия состоит в том, что если первый взял своим предыдущим ходом число 𝑎,
.
.
то второй берёт такое 𝑏, что 𝑎 + 𝑏 . 3.
Если 𝑎 ≡ 1 (mod 3), то первый проиграет, сделав свой первый ход, так как сумма всех чисел даёт остаток 1
от деления на 3. Можно считать, что 𝑎 . 1 (mod 3).
Если 𝑎 ≡ 0 (mod 3), то и 𝑏 ≡ 0 (mod 3), поэтому нужное 𝑏 найдётся, ведь на доске чётное количество остатков 0.
Если 𝑎 ≡ 2 (mod 3), то 𝑏 ≡ 1 (mod 3), поэтому нужное 𝑏 найдётся, ведь на доске остатков 1 больше, чем остатков 2.
Осталось заметить, что после обмена ходов сумма всех чисел на доске сохраняет остаток 1 от деления на 3;
количество остатков 0 сохраняет чётность; число остатков 1 остаётся больше числа остатков 2, поэтому у второго
игрока всегда есть ход.
Используемые формулы
1) Пусть 𝑘 = 6𝑛 + 1.Сумма всех чисел на доске равна (6𝑛 + 1)(6𝑛 + 2)/2 = (6𝑛 + 1)(3𝑛 + 1) ≡ 1 (mod 3).
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.