Задание №175352: Геометрия
2. На стороне 𝐴𝐶 остроугольного треугольника 𝐴𝐵𝐶 отметили точку 𝑂. При повороте на 90◦ вокруг точки 𝑂 этот треугольник перешёл в треугольник 𝐷𝐶𝐸. Оказалось, что площадь 𝐴𝐵𝐶𝐷 в 4 раза меньше площади 𝐴𝐷𝐶𝐸. Найдите отношение 𝐴𝑂 : 𝑂𝐶. ( П. Д. Муленко) Ответ: 3:5. Решение. Раз при повороте на 90◦ точка 𝐵 перешла в точку 𝐶, то отрезок 𝑂𝐵 перешёл в отрезок 𝑂𝐶. Значит, 𝑂𝐵 ⊥ 𝑂𝐶 и 𝑂𝐵 = 𝑂𝐶. Аналогично, 𝐴𝑂 = 𝑂𝐷 и 𝑂𝐶 = 𝑂𝐸. Обозначим 𝐴𝑂 = 𝑂𝐷 = 𝑥, 𝑂𝐶 = 𝑂𝐵 = 𝑂𝐸 = 𝑦. Тогда 𝐵𝐷 = 𝑂𝐵 − 𝑂𝐷 = = 𝑦 − 𝑥, 𝐷𝐸 = 𝐴𝐶 = 𝑥 + 𝑦 (отрезок 𝑂𝐵 меньше 𝑂𝐷 = 𝑂𝐶, так как угол ∠𝐴𝐵𝐶 должен быть острым). Диагонали обоих данных четырёхугольников перпендикулярны, следовательно, их площади равны 𝐵𝐷 · 𝐴𝐶 (𝑥 +𝑦)(𝑦 − 𝑥) 𝐷𝐸 · 𝐴𝐶 (𝑥 +𝑦)2 𝑆(𝐴𝐵𝐶𝐷) = = , 𝑆(𝐴𝐷𝐶𝐸) = = . 2 2 2 2 Получается, что отношение их площадей равно отношению длин 𝐵𝐷 и 𝐴𝐶: 𝑆(𝐴𝐵𝐶𝐷) 𝐵𝐷 𝑦 − 𝑥 1 = = = ⇒ 4(𝑦 − 𝑥) = 𝑥 +𝑦 ⇒ 3𝑦 = 5𝑥. 𝑆(𝐴𝐶𝐷𝐸) 𝐴𝐶 𝑥 +𝑦 4 21 Отсюда искомое отношение 𝐴𝑂 : 𝑂𝐶 = 𝑥 : 𝑦 = 3 : 5.
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Геометрия» и рассчитано на уровень 10 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Олимпиада «Формула Единства» — официальный архив · 2025
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Олимпиада «Формула Единства» — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Год материала
- 2025
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Геометрия» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
2) Если робот стоит в клетках 2–10 или 91–99, то при стратегии А некоторые из клеток, посе-
щённых за первые 10 минут, совпадают, поэтому стратегия Б лучше по второму критерию. В
остальных случаях стратегии одинаково эффективны по критерию 2, и нужно перейти к кри-
терию 3.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.