Задание №171979: Геометрия

1 Олимпиада “Физтех–2021” по математике. 11 класс. Критерии оценивания


Задача считается полностью решённой (и за неё начисляется максимальное количество баллов),
только если в тексте решения приведены все необходимые преобразования и полностью объяснены

все имеющиеся логические шаги; при этом полученные ответы приведены к упрощённому виду.
Наличие верного ответа не гарантирует положительного балла за задачу. Верный ответ без обос-
нования – баллы не добавляются.
За верное обоснованное решение за задачу ставится полное количество баллов (указано в скоб-
ках после номера задачи). Некоторые частичные продвижения оцениваются согласно инструкции.
В остальных случаях оценка ставится по усмотрению проверяющего.



1. (5 баллов) Составлена система неравенств относительно одного из членов прогрессии и её
разности – отдельно не оценивается;

найдена разность прогрессии – 2 балла;
√
получено неравенство на разность прогрессии вида 0 < 𝑑 < 𝑎, но забыто, что разность целая,
и поэтому разность не найдена – 1 балл вместо 2;
составлена и решена система неравенств относительно первого члена прогрессии – 2 балла; если
при этом приобретена одна лишняя точка, то 1 балл вместо 2;
указаны целочисленные значения переменной – 1 балл (этот балл ставится, даже если приоб-

ретена одна лишняя точка).


2. (5 баллов) Доказано, что 𝐴𝐵 – диаметр цилиндра наименьшего радиуса – 2 балла; если при

этом не проверено, что точки 𝐶 и 𝐷 могут лежать на боковой поверхности такого цилиндра
(например, можно доказать, что треугольники 𝐴𝐵𝐶 и 𝐴𝐵𝐷 остроугольные; можно сделать,
как в решении), то 1 балл вместо 2;
найдены оба значения 𝐶𝐷 – 3 балла;

найдено только одно значение 𝐶𝐷 – 1 балл вместо 3.



3. (7 баллов) Изображено множество точек (в плоскости (𝑎;𝑏), удовлетворяющих второму нера-
венству системы – 2 балла;
указано (или изображено, описано) множество решений первого неравенства – баллы не добав-
ляются;

верно описан способ построения фигуры 𝑀 (например, совокупность кругов заданного радиуса,
центры которых лежат в некотром множестве), но сама она построена неверно – 1 балл;
изображена фигура 𝑀 – 3 балла;

найдена её площадь – 2 балла.
Если фигура 𝑀 изображена неверно, нахождение площади не оценивается, и за задачу ставится

не более 3 баллов.
Если фигура 𝑀 представляет собой пересечение двух кругов с центрами 𝐴 и 𝐵 радиусов 2𝐴𝐵,
за задачу ставится 3 балла (при этом не играет роли, найдена ли площадь).






○c МФТИ, 2021