Задание №175260: Геометрия
2. В окружность 𝜔 вписан шестиугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹, в котором 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 = 𝐶𝐷. Отрезок 𝐵𝐸 пересекает 𝐶𝐹 и 𝐷𝐹 в точках 𝐺 и 𝐻 соответственно, а отрезок 𝐴𝐸 пересекает 𝐶𝐹 и 𝐵𝐹 в точках 𝐽 и 𝐾 соответственно. Оказалось, что прямые 𝐺𝐾 и 𝐻𝐽 пересекаются в точке 𝐿, лежащей на 𝜔, а также пересекают эту окружность в точках 𝑀 и 𝑁. Докажите, что 𝑀𝑁 = 𝐴𝐵. (О. А. Пяйве)
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Геометрия» и рассчитано на уровень 11 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Олимпиада «Формула Единства» — официальный архив · 2025
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Олимпиада «Формула Единства» — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Год материала
- 2025
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Геометрия» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
2. В окружность 𝜔 вписан шестиугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹, в котором 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 = 𝐶𝐷. Отрезок 𝐵𝐸 пере-
секает 𝐶𝐹 и 𝐷𝐹 в точках 𝐺 и 𝐻 соответственно, а отрезок 𝐴𝐸 пересекает 𝐶𝐹 и 𝐵𝐹 в точках 𝐽 и
𝐾 соответственно. Оказалось, что прямые 𝐺𝐾 и 𝐻𝐽 пересекаются в точке 𝐿, лежащей на 𝜔, а
также пересекают эту окружность в точках 𝑀 и 𝑁. Докажите, что 𝑀𝑁 = 𝐴𝐵. ( О. А. Пяйве)
Решение.
Углы 𝐵𝐹𝐶, 𝐶𝐹𝐷 и 𝐴𝐸𝐵 равны, поскольку опираются на рав-
ные хорды. Значит, четырёхугольники 𝐸𝐹 𝐽𝐻 и 𝐸𝐹𝐾𝐺 вписан-
ные. Из первого получаем ∠𝐽𝐸𝐹 = ∠𝐽𝐻𝐹, а из второго —
∠𝐽𝐸𝐹 = ∠𝐾𝐺𝐹.
Значит, ∠𝐽𝐻𝐹 = ∠𝐾𝐺𝐹, поэтому 𝐹𝐻𝐺𝐿 вписанный, отсюда
∠𝐺𝐿𝐻 = ∠𝐺𝐹𝐻. Значит, дуги 𝑀𝑁 и 𝐶𝐷, на которые опирают-
ся эти углы, равны, поэтому 𝑀𝑁 = 𝐶𝐷 = 𝐴𝐵.
Используемые формулы
В окружность 𝜔 вписан шестиугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹, в котором 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 = 𝐶𝐷.Докажите, что 𝑀𝑁 = 𝐴𝐵.Из первого получаем ∠𝐽𝐸𝐹 = ∠𝐽𝐻𝐹, а из второго —∠𝐽𝐸𝐹 = ∠𝐾𝐺𝐹.Значит, ∠𝐽𝐻𝐹 = ∠𝐾𝐺𝐹, поэтому 𝐹𝐻𝐺𝐿 вписанный, отсюда∠𝐺𝐿𝐻 = ∠𝐺𝐹𝐻.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.