Задание №175258: Геометрия

7. Паша и Варя играют в такую игру. Каждый игрок своим ходом отмечает на плоскости точ-

ку, пока не будут отмечены 2025 точек (начинает и заканчивает игру Паша). После этого Варя
должна заплатить Паше столько рублей, сколько вершин имеет выпуклая оболочка получен-
ного множества точек. Для какого максимального 𝑁 у Паши существует стратегия, позволяю-
щая получить не менее 𝑁 рублей при любой игре Вари?

21


Выпуклая оболочка конечного множества точек — это наименьший по включению
многоугольник, содержащий их. Справа показано множество из 9 точек и его вы-
пуклая оболочка — четырёхугольник. ( А. А. Теслер)

Ответ: 5.

Решение. Сначала докажем несколько лемм.
Лемма 1. За один ход число вершин выпуклой оболочки (обозначим его 𝑘) не может увели-
читься более чем на 1. (К вершинам выпуклой оболочки добавиться может только новая точка;
часть прежних вершин может исчезнуть.)
Лемма 2. Если 𝑘 = 5, то за один ход можно сделать его равным 4. (Действи-
тельно, если дан пятиугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸, то стороны 𝐴𝐵 и 𝐶𝐷 или 𝐴𝐵 и 𝐷𝐸 не

параллельны; отметив точку пересечения их продолжений, получим четырёх-
угольник.)
Лемма 3. Из любого 4-угольника, кроме параллелограмма, можно за один ход сделать треуголь-
ник. (Аналогично: отметим точку пересечения двух несмежных непараллельных сторон.)

Лемма 4. Из любого четырёхугольника можно сделать параллелограмм. Действительно, если
он ещё не является параллелограммом, то либо это трапеция (и можно продлить меньшую
из параллельных сторон так, чтобы она сравнялась с большей), либо у него нет параллельных
сторон.
Во втором случае одна из пар углов 𝐴 + 𝐵 и 𝐶 + 𝐷 меньше 180◦, а вторая больше;
то же верно для пар 𝐵 + 𝐶 и 𝐷 + 𝐴. Значит, есть единственная вершина (пусть,

например, 𝐴), для которой каждая из пар 𝐴 + 𝐵 и 𝐴 + 𝐷 меньше 180◦, и можно
построить параллелограмм на сторонах 𝐴𝐵 и 𝐴𝐷.
Лемма 5. Из любого треугольника можно сделать параллелограмм (очевидно).

Теперь опишем стратегии игроков, которые приводят к получению пятиугольника.

Стратегия Вари по недопущению 𝑁 ⩾ 6. Если после хода Пети стало 𝑘 ⩾ 5 (а до этого не
было), значит,𝑘 = 5 и можно сделать его равным 4. Если𝑘 < 5, то можно оставить его прежним
(поставив точку внутрь). Таким образом, после хода Вари 𝑘 ⩽ 4, и Паша за последний ход не
сделает его больше 5.

Стратегия Паши, позволяющая сделать 𝑁 = 5. На 3-м ходу сделать треугольник. Варя сдела-
ет 4-угольник или оставит треугольник — в обоих случаях превратить его в параллелограмм.
После этого достаточно сохранять центральную симметрию выпуклой оболочки вплоть до
2023-го хода (она гарантирует 𝑘 ⩾ 4 и невозможность превращения в треугольник за один
ход). Варя 2024-м ходом сделает 𝑘 не меньше 4, после чего Паша увеличит 𝑘 на 1.

Критерии. Еслисформулированалемма2,лемма3илидругоепохожееутверждение,тодаётся2балла.
Ещё по 2 балла за стратегии каждого игрока.

22



Л А Е Д Международная математическая олимпиада
У И
М Н
Ф О Р С Т В А «Формула Единства» / «Третье тысячелетие»
2025-2026 учебный год. Отборочный этап
Е
И
Т Р Е Т Ч Е Л Е Т Решения задач