Задание №175257: Геометрия

6. В окружность вписаны три различных остроугольных треугольника (общих вершин у тре-
угольников нет). Докажите, что можно выбрать по одной вершине из каждого треугольника
так, чтобы три выбранные точки образовали треугольник, у которого все углы не превышают

90 градусов. ( Л. С. Корешкова)
Решение. Пусть 𝐴 и 𝐵 — вершины разных треугольников на наибольшем расстоянии друг
от друга. Если 𝐴𝐵 — диаметр, то любая вершина третьего треугольника подходит. Иначе пусть
𝐴′ и 𝐵′ — диаметрально противоположные точки к 𝐴 и 𝐵. Вершины третьего треугольника

не могут быть на дугах 𝐴′𝐵 и 𝐴𝐵′, включая концы, так как отрезок 𝐴𝐵 наиболь-
ший возможный. Кроме того, все вершины третьего треугольника не могут од-
новременно лежать на дуге 𝐴𝐵, так как он остроугольный. Значит, на дуге 𝐴′𝐵′
найдётся вершина 𝐶 третьего треугольника, а тогда 𝐴𝐵𝐶 остроугольный.

Критерии. За упоминание того, что вписанный треугольник остроугольный тогда и только тогда,
когда он не содержится в полукруге, даётся 1 балл. Если в целом решение полное, но не рассмотре-

ны какие-то случаи, когда противоположные точки являются вершинами разных треугольников, то
снимается 1 балл.